Из книги "Дети, в школу собирайтесь" О.М.Дьяченко, Н.Ф.Астаськова, А.И.Булычёва и др. изд "Просвещение"1996г.

В этом разделе мы хотим поговорить о математическом, вернее, предматематическом образовании дошкольников, рассказать, с чего начинать, выделить аспекты обучения, являющиеся наиболее важными для умственного развития дошкольников, продемонстрировать некоторые методы работы, которые позволяют сделать занятия интересными и увлекательными.

Большинство взрослых (не являющихся специалистами в области дошкольного обучения) в первую очередь стремятся научить ребенка считать и решать задачи. Они радуются, когда их ребенок считает до пятидесяти, до ста, до тысячи, складывает и вычитает числа в пределах двадцати и т. д.

Однако проверка показала, что дошкольник чаще всего просто запоминает различные варианты примеров на сложение и вычитание. Знания, приобретенные подобным способом, представляют для ребенка такой же набор слов, как любая детская считалочка. Часто дети, о которых идет речь, не могут определить численность даже небольшой группы конкретных предметов (т. е. не соотносят числительные с реальными предметами), не могут решить задачу, если надо действовать с конкретными предметами (например, сложить две и три палочки, находящиеся в левой и правой руках). Такие знания можно сравнить со зданием, построенным над ямой, вырытой для фундамента, но ничем не заполненной.

С чего же начать?

Счет - это лишь одна из сторон математического развития. Современная техника (калькуляторы, компьютеры и т. д.) помогает человеку производить счетные операции, а вот мыслить за человека, логически рассуждать, вскрывать скрытые для непосредственного восприятия математические взаимосвязи и взаимозависимости не сможет ни одна машина.

Обучение отвлеченному счету и натаскивание в счетных операциях никак не может быть выдвинуто на первый план в математическом развитии человека, тем более дошкольника.

В каждом возрасте ребенку надо дать то, что присуще именно ему, обогатить те стороны развития, к которым данный возраст наиболее чувствителен, наиболее восприимчив. Ведь многое из того, что упущено в детстве, невосполнимо.

Источником познания дошкольника является чувственный опыт. Начиная занятия с трехлетним ребенком, надо помнить, что главное в этом возрасте обогащение опыта ребенка, необходимого для полноценного восприятия окружающего мира, знакомство с общепринятыми образцами внешних свойств предметов (семью цветами спектра, пятью геометрическими формами, тремя градациями величины), представление об их разновидностях и умение пользоваться этими представлениями для анализа и выделения свойств различных предметов в различных ситуациях.

Поговорим подробнее о форме и величине предметов. В дальнейшем это будет играть важную роль для развития математических представлений.

Форма является одним из основных свойств окружающих ребенка предметов. Эталоном се принято считать геометрические фигуры, при помощи которых определяется форма предметов или их частей.

Знакомство с геометрическими фигурами в процессе развития восприятия отличается от их изучения при формировании начальных математических представлений. Однако без чувственного восприятия формы невозможен переход к ее осознанию.

Итак, вначале надо познакомить ребенка с эталонами формы: круг, квадрат, прямоугольник, треугольник, овал; научить их различать, запоминать названия. Затем показать различные пропорции и варианты геометрических форм и, наконец, научить "использовать геометрические формы для оценки окружающих предметов.

Приступая к обучению трехлетних детей, главное - организовать занятие таким образом, чтобы для ребенка это было увлекательной игрой или любимой деятельностью.

Например, знакомя с эталонами формы, можно на плоскостных геометрических фигурах схематически изобразить лица. Получается фигурки-человечки, с которыми можно играть. Предложите малышу уложить спать каждого в свою кроватку («кроватка» контурное изображение круга, квадрата, треугольника, прямоугольника, овала на полоске картона). Каждая фигурка-человечек должна обязательно найти свою кроватку (рис. 73).

Играя, дети даже не подозревают, что осваивают способы обследования предметов, сопоставление эталонов между собой.

На другом занятии раздайте малышам чистые листы бумаги и скажите, что вы бы хотели подарить каждому человечку платочек. Для этого на лист бумаги надо наклеить его изображение. Наклеивая на белые квадраты по одной из пяти фигурок и выбирая, кому этот платочек подарить, дети снова сопоставляют эталоны между собой (рис. 74).

Можно придумать интересную историю, героями которой будут те же фигурки-человечки. Например: «У всех фигурок-человечков были свои домики: у квадратиков — квадратный, у треугольников - треугольный, у кружков — круглый (листы бумаги с контурными изображениями домиков раскладываются на полу). Каждый вечер фигурки-человечки возвращались в свои домики. Они хорошо знали дорогу и никогда не путали, кто, где живет. Но вот однажды налетел сильный ветер и перепутал все домики. Вечером, возвращаясь домой, фигурки-человечки не смогли попасть в свои домики».

Попросите ребят помочь бедным человечкам найти свои домики (рис. 75). Раскладывая фигурки разного цвета и разной величины по своим местам, дети группируют геометрические фигуры с отвлечением от величины и цвета.

Познакомившись с эталонами формы, их названиями, действием подбора по образцу, трехлетние дети смогут выполнять более сложные задания. Например, по данному образцу составлять картинки из геометрических фигур различной величины (рис. 76).(дерево, ёлка, домик, машина или паровоз)

Сначала ребенок продумывает, из каких фигур можно составить данный образец, затем выкладывает его на столе или листе чистой бумаги.

Знакомство с величиной предметов, с одной стороны, обогащает чувственный опыт ребенка, с другой - является необходимым условием развития математических представлений. Именно от практического сравнения величин предметов и начинается путь к познанию количественных отношений «больше—меньше», «равенство-неравенство», что является важнейшим моментом в математическом развитии дошкольника.

Мы считаем нецелесообразным знакомить дошкольников с метрической системой мер. Поэтому величина для них определяется местом, занимаемым предметом в ряду других предметов, и обозначается словами «большой», «поменьше», «маленький».

Развивая представления ребенка о величине, постепенно переходим от сравнения двух-трех предметов к сравнению пяти и более, образующих ряд убывающих или возрастающих величин. На этом принципе построены многие народные дидактические игрушки: матрешки, пирамидки, игрушки-вкладыши. Можно самим придумывать специальные игры, в которых ребенок будет строить простейшие сериационные ряды и познавать правила их построения: выбор большего из остающегося количества предметов.

Например, игра с мячами. Взрослый кладет на стол два мяча: один маленький, другой побольше. Он берет маленький мяч и предлагает ребенку взять другой: «У кого мяч больше?» «У меня», — говорит малыш. Тогда взрослый быстро убирает свой маленький мяч под стул и достает оттуда мяч, который больше, чем у ребенка: «Нет, у меня большой мяч, а у тебя маленький». Мячи сравниваются. Затем взрослый предлагает малышу закрыть глаза, забирает его мяч и кладет перед ним самый большой. Малыш открывает глаза и видит, что его мяч больше. После этого достаются все мячи. Взрослый выбирает мяч средней величины и предлагает ребенку с одной стороны от этого мяча положить мяч побольше, а с другой мяч поменьше. Получился ряд: большой, средний, маленький (рис. 77).

Детям интересно строить башни, располагая кубы так, чтобы башня была устойчивой: внизу самый большой, потом поменьше, потом еще меньше и т. д.

Можно играть со зверюшками, раскладывая им мисочки: самому большому зверю — самую большую миску, зверю поменьше — и мисочку поменьше и т. д.

Ребенок также должен иметь представление о длине, ширине, высоте предметов. Различить параметры величины — задача непростая. Значит, надо создавать такие ситуации (игровые, практические), при которых отдельные признаки предметов приобретают особую значимость.

Так, если интересующую малыша вещь положить на шкаф, он скоро сообразит, что сам ее не достанет, если что-нибудь не придумает (встать на стул, взять палку и т. д.).

Играя в игрушки, он может сравнивать длину ушей зайца и лисы, длину их хвостов, длину клювов у птиц (журавль и гусь) и т. д.

Советуем придумывать увлекательные игры, где необходимо выделение отдельных параметров величины. Например, можно вырезать из бумаги реку. Машине, которая подъехала к реке, надо переехать на другую сторону. Дети решают, что нужен мост. Но ваш мост (прямоугольник из бумаги или картона) слишком короткий и не достает до другого берега. Принесите другой мост, длиннее первого, и по нему машина переедет на другой берег

В другой игре взрослый вместе с ребенком прячет зайчат от волка, закрывая домик дверью. Если дверь будет уже, чем надо, волк сможет протиснуться в оставленную щель и съест зайчат (рис. 79).

Подобные игры дают возможность обратить внимание ребенка не только на величину предметов в целом, но и на отдельные параметры величины, учат сравнивать предметы по величине путем приложения предметов или наложения их друг на друга.

Мы говорили о развитии сенсорных способностей ребенка, постоянно ссылаясь на то, что без этого невозможно развивать познавательные способности.

На примере развития представлений о величине предметов можно наиболее ярко продемонстрировать переход от сенсорного к интеллектуальному развитию.

Неумение отличить изменение отдельных параметров величины от изменения величины в целом — особенность детского мышления. Воспринимая предметы, ребенок младшего и среднего дошкольного возраста учитывает, как правило, один из параметров, высоту, поэтому ему трудно сопоставить по величине предметы разной формы или по разному расположенные в пространстве.

Например, если на столе перед малышом расположить два совершенно одинаковых бруска, один - горизонтально, другой - вертикально) и спросить, какой из брусков больше, он наверняка скажет, что вертикально расположенный брусок больше (рис. 80). (Это упражнение выявляет не только представление ребенка о величине предметов, но и уровень его мышления). И только введение условной меры даст детям возможность выделить и сопоставить параметры.

Таким образом, выделение параметров величины следует относить не столько к сенсорному, сколько к интеллектуальному развитию.

Соотнесение величин предметов — это путь перехода от чувственного познания к логическому. Сравнивая величины предметов, дошкольник познает количественные отношения «больше—меньше», «равенство-неравенство», что являет ся необходимым условием его математического (вернее, пред математического) развития.

Как же показать ребенку необходимость применения меры при оценке параметров величины?

Лучше всего создать такую ситуацию (сказочную, игровую, практическую), где введение меры будет необходимым.

Приведем пример. Взрослый показывает лист бумаги (большой, лучше ватманский лист), на котором наклеены две елочки: одна — в левом верхнем углу, другая — в правом нижнем. Причем, разница в высоте елочек едва различима на глаз (рис. 81). Дети слушают сказку: «Под одной из елок зарыт клад. Два добрых гнома хотят помочь Ивану-царевичу найти его. Гномы знают секрет: клад зарыт под той елкой, которая выше. Но гномы никак не могут определить, какая елка выше, поэтому не знают, где копать. Они все спорят, спорят, а Иван-царевич ждет...»

Дети моментально включаются в сказочную ситуацию, так как перед ними интересная задача - помочь Ивану-царевичу отыскать клад. А для этого надо определить, какая елка выше. Сначала ребята пытаются измерить высоту елок на глаз. На это следует возразить: «А вдруг ты ошибся! Тогда гномы потратят столько сил, а клад не найдут».

Начинается поиск. Ребенок, естественно, предлагает знакомые способы измерения: приложить елочки друг к другу, наложить одну на другую. Однако в данном случае эти способы не приемлемы, так как елки приклеены и наложение или приложение невозможно.

Правильный ответ еще не получен, но похвалить ребят за то, что они продемонстрировали знание способов наложения и приложения необходимо. Дайте им возможность убедиться, что в данной ситуации эти способы не годятся. Пусть они сами попробуют измерить высоту елок знакомыми способами. После безуспешных попыток дети неизбежно придут к выводу, что необходимо найти новые способы. Одни стараются соизмерить высоту елок при помощи пальцев, но измерение получается неточным, другие предлагают взять палочку или полоску бумаги. Идея верная, но они еще не знают, как применить ее на практике.

Дети зачастую бывают очень близки к цели. Например, предлагают вырезать такие же елочки и поставить их рядом или вырезать елочку из бумаги и сперва наложить на одну, а потом на другую елку, т. е. вплотную подходят к необходимости опосредованного сравнения. В этом случае взрослому остается лишь показать способ использования условной мерки, которую можно сделать из полоски бумаги, ленточки, веревочки,. Вместе с ребенком он делает мерку, равную высоте одной из елок. Следует обратить внимание детей, что концы измеряемого объекта и полоска, которой он измеряется, должны точно совмещаться (рис. 82).

Сделав мерку, равную одной из елок, можно определить, какая елка выше, и указать гномам, под какой из них искать клад.

Таким образом дети узнали, что если предметы нельзя сравнить непосредственно (наложить или приложить), то определить их величину можно с помощью условной мерки.

Теперь надо дать возможность ребятам самим применить новый способ. Приведем пример. Подбираются бруски четырех размеров и игрушечные грузовики двух размеров. Бруски раскладываются на полу. Предлагается игровая ситуация: «Здесь у нас склад стройматериалов. Мы будем перевозить эти материалы на стройплощадку (в комнате определяется место для стройплощадки). Бруски надо грузить в кузов машины так, чтобы они обязательно вошли туда полностью, иначе свисающий из кузова стройматериал создаст на дороге аварийную ситуацию и милицейский пост вернет машину обратно». Взрослый играет вместе с детьми. Он выполняет роль милиционера, который следит за порядком на дороге. Вначале ввозится маленький грузовичок, куда помещаются только бруски небольшого размера. Дети грузят стройматериал на грузовик и отвозят его на стройплощадку. Когда перевезены все бруски, подходящие под размер кузова, дети пытаются любым способом затолкнуть в кузов длинные бруски. Но тут грузовик останавливает милиционер: «Товарищ шофер, вам придется вернуться. Вы создаете аварийную ситуацию на дороге!» Машина возвращается. Начинается поиск выхода из создавшейся ситуации. Звучит предложение: «Нужны кубики поменьше». Однако взрослый напоминает правила игры: везти нужно именно эти бруски, потому что это большие плиты для дома. Одни предлагают поставить бруски в кузове (но так везти опасно), другие предлагают распилить их (но это же огромная бетонная плита!). Наконец кто-то предлагает привезти машину, у которой кузов будет больше.

Итак, взрослый подвел детей к кульминационной точке, ради которой и создавалась данная ситуация. Необходимо решить, какой величины должен быть кузов. Ведь за машиной придется идти в автопарк, где обязательно спросят, какая именно машина нужна. И вот здесь-то дети смогут применить известный им способ измерения с помощью условной мерки.

Возможно ребята на сразу догадаются, что надо делать. Кто-то разводит руки в стороны, показывая, какой длины должен быть кузов у машины, кто-то предлагает взять с собой брусок и с ним пойти в гараж. Взрослый объясняет, почему нельзя воспользоваться этими предложениями. Кто-то предлагает взять сантиметр. «Это было бы очень хорошо, подхватывает взрослый, — но у меня с собой нет сантиметра!» Итак, дети на верном пути. Еще немного, и способ будет найден. Действительно, кто-нибудь обязательно предложит взять бумажку или веревочку и измерить брусок. Карандаш, бумажные полоски, веревка - все должно быть приготовлено заранее. Совместными усилиями изготовляется мерка по длине бруска. Необходимо следить, чтобы ребенок аккуратно прикладывал полоску. Ее конец должен точно совпадать с концом измеряемого бруска, а карандашная отметка точно совпадать с его началом. С изготовленной меркой взрослый идет за машиной и привозит грузовик с кузовом, куда поместится весь оставшийся материал. Игра продолжается.

Старайтесь, чтобы ребенок применял способы измерения с помощью условной мерки и в повседневной жизни. Например, объясните, что хотели бы передвинуть шкаф, и попросите малыша помочь вам определить, уместится ли он в простенке между окон. Или уместится ли в определенном месте па кухне полочка, которую вы хотите повесить, и т. д.

Сравнение двух предметов по величине с помощью третьего вполне доступно детям четырех лет. Знакомство с условной меркой уже в этом возрасте исключительно важно, так как позволит в дальнейшем пользоваться ею при формировании представления о числе как отношении измеряемого к данной мере.

Остановимся еще на одном свойстве предметов, окружающих ребенка, — их количестве.

Что важно для четырехлетнего малыша? Прежде всего, научить его понимать математические отношения: больше, меньше, поровну.

Лучше всего снова обратиться к игре и использовать такие ситуации, когда установление равенства — неравенства предметов становится необходимым.

Например, взрослый предлагает малышу: «Давай покормим твоих кукол!» Вместе с ребенком он рассаживает кукол и предлагает накрыть на стол: каждой кукле надо поставить тарелку, а к каждой тарелке положить ложку. Малыш с удовольствием играет с любимыми игрушками. Перед взрослым же, который должен выступать как равноправный партнер по игре, стоит серьезная обучающая задача. Он показывает ребенку способ сравнения двух групп предметов: «Чтобы всем куклам хватило тарелок, давай перед каждой куклой поставим тарелку (подкладывание предметов одной группы под предметами другой группы). Мы сразу увидим, у всех ли есть тарелки. Чтобы всем хватило ложек, давай положим ложку на каждую тарелку» (способ накладывания предметов одной группы на предметы другой группы).

В таких играх дети осваивают способ попарного соотнесения двух групп предметов, который и позволяет определять, чего больше, чего меньше или поровну.

Полученные знания дети с удовольствием используют в повседневной жизни. Ребенок охотно будет помогать накрывать на стол: к каждой тарелке положить ложку, нож, вилку, под каждой чашкой поставить блюдце и т. д. Надо всячески это поощрять.

Однако далеко не всегда возможно использовать способы непосредственного сравнения для определения равенства-неравенства двух групп предметов. Например, требуется решить, всем ли гостям хватит стульев. Можно просто посчитать. Но есть и другой способ. Им успешно может пользоваться четырехлетний ребенок, если освоит применение простейших вспомогательных наглядных средств. Другими словами, если научится использовать заместители реальных предметов (фишки), с помощью которых можно сравнить две группы предметов, разделенные в пространстве, не прибегая ни к счету, ни к их перемещению. Задача взрослого — придумать такую игровую ситуацию, где использование нового способа станет необходимым условием ее разрешения.

Например, взрослый рассказывает историю о том, что привезли очень интересные «мультики», а все куклы и зверюшки побежали в кассу кинотеатра за билетами. Но кассир не продает билеты, потому что не знает, всем ли хватит стульев в зале. Как же быть?

Дети, конечно, будут пытаться применить стихийно приобретенный опыт пересчета предметов. Однако осмысленное сравнение двух чисел, получившихся в результате пересчета, и вывод о равенстве-неравенстве им пока еще не доступны.

Чтобы решить эту задачу, взрослый предлагает ребенку взять круглые (зрители) и квадратные (стулья) фишки. Около каждого зрителя, стоящего у кассы, выкладывается кружочек (кружочки надо доставать из коробки по одному и подкладывать к каждой игрушке, чтобы никого не пропустить). «Теперь мы знаем, сколько у нас зрителей, - говорит взрослый, собирая все кружочки, разложенные под игрушками и выкладывая их в ряд на столе. - Вот сколько!»

Далее взрослый берет коробку с квадратиками и предлагает пойти посмотреть, сколько стульев в зале: «На каждый стул положим квадратик!» Ребенок кладет по одному квадратику на каждый стул. Собрав все квадраты, лежащие на стульях, взрослый говорит: «Вот сколько у нас стульев!» Квадраты раскладываются под кружками на столе (рис. 83). Взрослый еще раз напоминает, что кружки, - это «как будто зрители», а квадраты — «как будто стулья», и предлагает определить, всем ли зрителям хватит стульев.

Итак, перед ребенком наглядная модель, где конкретные предметы представлены в виде двух рядов однородных фишек.

Чаще всего, глядя на такую модель, ребенок говорит, что кружков больше, а квадратов меньше. Взрослый помогает сделать правильный вывод: «Правильно, кружков больше, чем квадратов, значит, зрителей больше, чем стульев».

Все описанное выше имеет исключительное значение для математического развития ребенка. Дело в том, что дошкольник, особенно младшего возраста, мыслит конкретными образами и на его оценку количественных отношений может повлиять цвет, форма, величина, расположение предметов.

Например, при расположении двух групп предметов (как показано на рисунке 84) дошкольник чаще всего определяет большее количество кружков в нижнем ряду.

Замещение конкретных предметов однородными фишками помогает ребенку понять, что количество предметов не зависит от их свойств.

Новый способ определения количества можно успешно использовать в игровой и практической деятельности, когда требуется отобрать определенное количество предметов.

Например, перед ребенком на ковре кубики из строительного материала (как будто недостроенные дома). К ним нужны крыши, за которыми надо ехать на склад.

Ребенок с удовольствием включается в игру, едет на склад, но не может ответить на вопрос кладовщика, сколько надо крыш. На помощь ему приходит взрослый: «Вернись на стройплощадку, возьми квадратики и положи по одному на каждый недостроенный дом. А когда снова поедешь на склад, возьми с собой все эти квадратики. Когда опять приедешь на склад, покажи квадратики (как будто дома), и кладовщику станет ясно, сколько тебе надо крыш». Ребенок отбирает крыши соответственно количеству квадратиков, возвращается на стройплощадку и достраивает дома.

В следующий раз, когда он сталкивается с подобной ситуацией, то действует уже уверенно, используя фишки как заместители реальных предметов.

Мы описали так называемый дочисловой период обучения, когда ребенок трех-четырех лет еще не знаком с числами и порядком следования их в числовом ряду. Показали, как в играх и интересной практической деятельности дошкольник постигает количественные отношения (больше-меньше — поровну), осваивает эти отношения, сравнивая предметы по величине сначала непосредственно, а потом опосредованно (с помощью условной меры), а также сравнивая две группы предметов.

Действия с конкретными предметами привычнее для ребенка, однако, использование наглядных моделей позволяет дать ему не только конкретные, но и обобщенные знания.

Обучение различным математическим отношениям с помощью моделей позволит детям более успешно овладевать математическими представлениями, а главное, будет способствовать развитию познавательных способностей.

С пяти лет можно начать знакомить детей с числом и числовым рядом.

Чтобы представления детей о числе, о соседних числах, о переходе от одного числа к другому были полноценными, лучше начать знакомство с числом, сравнивая два множества.

При этом мы продолжаем обучать детей строить и использовать различные модели. В этом случае очень удобными оказываются детские счеты из двух линий косточек одинаковой величины. Когда на одной из них отложена одна косточка, а на другой — две, то ребенок сразу видит, что два больше, чем один.

Начинать лучше с чисел один, два, ноль. Покажите детям предмет, например игрушечного зайчика, скажите, Что зайчиков один. На счетах отложите белую косточку и объясните, что она будет обозначать зайчика. Затем достаньте две морковки, для каждой из них отложите косточку счетов красного цвета. Выполняя действие, называйте числа: «Одна косточка да еще одна, получилось две. Белых косточек одна, красных две. Что больше, один или два? А что меньше?» Помните, что обучая детей сравнению количеств на счетах, вы будете направлять и развитие познавательных способностей ребенка, когда результат соотношения косточек будет относиться к предметам, которые они обозначают. Поэтому ребенку нужно не просто сравнить по количеству две красные и одну белую косточки и сказать, что красных больше, но и перенести это на те предметы, которые косточками обозначены. В данном случае — заяц и морковки. Сравниваются реально видимые предметы — косточки счетов, а результат относится к другим предметам, которые ребенок только представляет. Это важный момент для развития умственных способностей.

Когда вы объяснили детям, что два больше одного, а один меньше двух, уберите одну красную косточку и скажите, что Теперь белых и красных косточек, а следовательно, зайцев и морковок, поровну, по одной. Уберите еще одну косточку и объясните, что, когда не остается ничего, это называет «ноль». Для обозначения каждого из чисел дайте детям числовые карточки (карточки с кружочками) и цифры. Попросите выложить карточки с кружками, а под ними — соответствующие цифры.

Таким способом следует познакомить детей с числами от ноля до десяти. Можно предложить сравнивать по количеству машины и шоферов, лодки и спортсменов, листья и жучков, мальчиков и девочек и т. д. Ваша задача — сделать необходимость их сравнения осмысленной для ребенка.

А вот другой вариант задания. Заранее отложите косточки на счетах и попросите детей сказать, каких предметов больше, а каких меньше, если косточки одного цвета обозначают, например, чашки, а косточки другого — блюдца. После того, как дети правильно ответят, каких предметов больше (меньше), попросите их из общего количества отобрать столько предметов, сколько косточек у них на счетах.

Когда дети освоят способ сравнения предметов при помощи косточек счетов, предложите им придумать значки для обозначения предметов. Важно, чтобы значки, обозначающие предметы, дети располагали строго друг под другом, и за этим должен следить сам ребенок.

Нарисуйте на доске или листе бумаги различные значки.
Поставьте на столе с одной стороны, скажем, игрушечные стулья, а с другой столы и попросите детей нарисовать на листе бумаги значками чего больше, столов или стульев. Можно придумать любые значки. Напомните, что картинка из значков должна быть нарисована так, чтобы на ней не считая можно было бы сразу увидеть, чего больше.

Задание будет более интересным, если оформить его в виде загадки с рисунками из значков. Предложите детям на одной стороне листа нарисовать два предмета, например мальчика и карандаш. (Можно предварительно рассмотреть с детьми различные предметы.) Рядом с каждой картинкой нужно нарисовать значок, заменяющий данный предмет. Значки дети придумывают сами. (Тем, кто затрудняется, можно немного помочь.) На другой стороне листа будет рисоваться загадка. Ребята должны задумать, каких предметов у них больше, и сделать такой рисунок из значков, на котором это сразу будет видно. Нарисовав значки, ребенок показывает рисунок другим детям или взрослому и просит их узнать, чего у него больше: карандашей или мальчиков, если вместо карандашей у него палочки, а вместо мальчиков — треугольники.

Ребенку совсем не просто удерживать связь между предметами и значками. Изображение же предмета и соответствующего значка поможет ему удерживать эту связь.

Некоторые считают, что, научив ребенка считать, нецелесообразно и даже странно опять предлагать ему сравнивать количество по значкам. Они не учитывают, что использование такого типа заданий важно не только для развития элементарных математических представлений, но и для развития познавательных способностей. Эти задания требуют от ребенка осознанного отношения к выполняемой деятельности, произвольного управления своими действиями, учат удерживать связи между предметами и замещающими их значками. А это новый этап в развитии познавательных способностей. И если дети нарисуют картинку из значков, которыми они предполагали обозначать предметы, если значки на картинке окажутся нарисованными строго друг под другом и если загадка будет о предметах, а не о значках, значит, ребенок преодолел в своем развитии важную ступень.

Для обучения детей ориентировке в числах числового ряда, что важно для развития представлений о числе и о взаимоотношениях чисел, можно также использовать специальные приемы. Если предложить ребенку назвать числа, например, меньше пяти, то он, как правило, называет только число четыре, т. е. представления о числовом ряде у него отрывочны. Использование модели в виде пересекающихся кругов или овалов поможет ребенку получить более полное представление о числе. Круги или овалы можно вырезать из прозрачной пленки или картона. Необходимо, чтобы их размеры позволяли охватить все цифры. Последовательный .ряд чисел можно выкладывать из цифр, нарисованных на кар точках, объемных цифр, используемых для магнитных досок, или приготовить специальные полоски бумаги с написанными по порядку цифрами. Чтобы задание носило игровой характер, назовите овал домиком, в котором могут жить числа. Предложите детям положить овал на числа (поселить числа в домик) так, чтобы внутри оказались только те, которые меньше пяти (семи, трех, девяти) (рис. 86).

А теперь спросите: «Какие числа оказались внутри? Какие же числа меньше пяти?» То же можно проделать и для чисел, которые больше названного. Повторите задание несколько раз. А теперь проверьте, лучше ли стали дети ориентироваться в числовом ряду, полнее ли стали их представления. Например, предложите им подпрыгнуть столько раз, чтобы количество прыжков было, скажем, меньше семи. Вы сможете убедиться, что после выполнения упражнений с овалом детям стало легче ориентироваться в последовательности чисел.

Постепенно задания усложняются. Попросите ребят разложить карточки с цифрами внутри овала в соответствии с заданным условием. Если занятия проходят с несколькими детьми, можно дать им карточки с цифрами, нарисовать на полу круг и предложить занять в нем место тем, у кого числа меньше, например, семи. Все, у кого карточки с числами меньше семи, должны встать в круг, у кого больше или равны семи, остаться вне круга. Тот, кто ошибается, выбывает из игры.

Для того чтобы дети помнили, для каких чисел предназначен круг, нужно поставить в нем знак "<7"
Вместо точек говорим «числа», затем - знак «меньше» и число «семь», т. е. числа меньше семи. Запись обязательно должна быть обрамлена кругом, овалом, прямоугольником. Если же прочтение записи будет вызывать затруднение, предложите использовать указку (счетную палочку). Тогда, читая значок, ребенок будет проговаривать каждый его элемент (рис. 88). Не забудьте напомнить, что значок читается слева направо.

На этом же этапе обучения можно начинать использование и второго овала. Рассмотрим игровую ситуацию. В одном домике поселились числа меньше шести, а в другом больше или равные шести (рис. 89). Ребята должны назвать эти числа. Поменяем условия игры, так чтобы овалы пересеклись Теперь дети должны ответить: "Какие числа меньше восьми, но больше трёх?" Предложите ребятам попрыгать на одной ноге (хлопнуть в ладоши, моргнуть, присесть и т. д.) столько раз, сколько требуется по условиям задания. Оперируя двумя овалами, можно провести игру «Найди свой дом». Для начала числа, которые должны попасть в место пересечения овалов, дайте более успевающим детям или возьмите себе.

Модель «логического древа» также является средством развития представлений детей о числовом ряде. Оно, как и раскладывание чисел в кругах или овалах, позволяет классифицировать числа в соответствии с заданным условием. «Логическое древо» может быть представлено детям в виде дорожек в математическом лесу, по которым могут ходить цифры. Объясните, что сначала все цифры (от 0 до 10) могут ходить вместе, а после разветвления дорожек в одну сторону пойдут числа, которые, к примеру, меньше трех, а в другую — все остальные. У одной из ветвей дорожки будет стоять определенный знак .

В начале дорожки взрослый или сами дети расставляют по порядку числа от ноля до десяти, потом каждое число должно пойти по той или иной тропинке. Дети рассказывают, какие числа пошли по дорожке со знаком, а какие - без него. Можно спросить, какой же знак забыла повесить царица Математика у другой дорожки. Оказывается, это должен быть знак, обозначающий числа больше или равные трем. Если это задание окажется легким, нарисуйте и предложите детям более сложный вариант расположения дорожек.

Такие задания, скорее, подойдут шестилетним детям. В одном задании можно сочетать модели двух видов: дорожки и домики (овалы). Сначала предложите детям провести числа по дорожкам, а потом на листе бумаги с цифрами положить овалы так, как расселятся числа по домикам. Или наоборот. Числа, живущие в домике отправить гулять по одной дорожке, а остальные — по другой. Спросите, какой знак нужно повесить для чисел из домика, а какой для всех остальных.

Можно нарисовать дорожки на полу, положить около одной соответствующий знак "...>6" и, дав детям в руки по карточке с цифрой, организовать игру «Не заблудись».

Следует сочетать задания с применением моделей с заданиями только со словесной инструкцией. Например, игра с мячом. Математические условия игры могут быть различными: сказать любое число, больше названного на один; меньше названного на один; сразу два числа — больше на один и меньше на один, чем названное. Взрослый берет в руки мяч и называет число. Ребенок, которому адресован мяч, должен назвать любое число, больше этого, и вернуть мяч взрослому, который называет новое число, бросает мяч другому ребенку и т. д. Можно провести игру не меняя условия задачи, а можно поменять его несколько раз в течение игры. Это потребует от детей большой концентрации внимания, будет развивать такое свойство внимания, как переключаемость, что очень важно при обучении в школе.

В шестилетнем возрасте следует начать развивать у детей представления о составе числа из двух меньших. Хорошо, если до школы ребенок будет представлять себе все варианты состава числа от трех до десяти, тогда обучение сложению чисел при переходе через десяток (что предстоит освоить детям в школе) будет Происходить значительно легче. Однако и эти математические отношения (состав числа из двух меньших) можно использовать не только для развития математических представлений ребенка, но и для развития его умственных способностей. С этой целью необходимо продолжать учить детей строить различные модели. Подготовьте каждому ребенку по шесть десять фишек двух видов (фишки от мозаики, пуговицы, камешки, орехи, желуди, картонные геометрические фигуры и другие мелкие предметы). Они могут отличаться по любому внешнему признаку:

цвету, форме, величине. Расскажите детям историю о том, что на берег реки пришло много ребят, мальчиков и девочек, которые решили переправиться на другой берег в лодке. Но оказалось, что в нее могут сесть только трое. Они договорились между собой, и пошли к лодке... Предложите детям выложить на столах фишки: сколько мальчиков и сколько девочек село в лодку. (Договоритесь сначала, какие фишки будут обозначать мальчиков, а какие — девочек.) После того как дети выложат из фишек, кто, по их мнению, мог сесть в лодку, сравните все варианты и проговорите их вслух. Ребята на наглядном примере увидят, что три — это три и ноль, два и один, один и два, ноль и три.

В дальнейшем для ориентировки, например в составе числа четыре, можно предложить такую игру. В пакете леденцы и ириски. Каждый ребенок может взять по 4 конфеты. Сначала попросите детей выложить фишками, какие конфеты они хотели бы попробовать, а затем вынуть по четыре конфеты из пакета. Если конфеты совпадают с выложенными фишками, ребенок получает эти конфеты в качестве приза, если же нет «ход» переходит к другому.

Для ознакомления с вариантами состава чисел можно придумать множество ситуаций. Например, определить количество машин, сворачивающих по сигналу светофора и едущих прямо; детей, получивших четверки и пятерки на занятии; птиц, уже вылупившихся и еще не вылупившихся из яиц, и т. д.

Постепенно переходим к графической форме изображения вариантов состава числа.

Предложите, например, нарисовать значками, какие цветы на клумбе могут вырасти, если всего посадили семь луковиц тюльпанов и нарциссов, а сколько каких — неизвестно. Тюльпан, например, можно обозначить треугольником, а нарцисс - кружком. Дети могут придумывать значки сами. Желательно, чтобы они нарисовали все возможные варианты.

Очень полезно проигрывать варианты состава числа, когда вы прячете предметы в руках. Эта игра очень нравится детям не утомительна для них. В процессе игры можно отгадывать только одно число, а можно менять числа. Это зависит от индивидуальных возможностей ребенка.

Решение арифметических задач — еще один раздел математики, с которым мы предлагаем вам познакомить детей. Традиционно дошкольников учат решать задачи на конкретных примерах. Основное внимание обращается на арифметические действия. Наша методика преследует две цели: обучение решению задач и развитие познавательных способностей ребенка. Для ясности изложения выделим два направления работы:

1. Выделение математических отношений между величинами, ориентировка в них. В задаче математические отношения можно рассматривать как «целое» и «часть». Целое это то, что было сначала и из чего вычли какую-то часть, получив в результате тоже часть, а также то, что получается, когда складывают две части. Так, если к пяти пуговицам прибавить еще две, то пять и два это части, а то, что получится в результате их сложения - это целое. Или, если от трех тарелок отнять одну, то три - это целое, а одна (вычитаемое) и две (разность) части. Для обозначения «целого» и «частей» используются полоски бумаги разной величины: для обозначения «целого» — большая, для обозначения «частей» — поменьше.

2. Обучение детей выделению грамматической структуры задачи: вид предложения (утвердительное, вопросительное), согласование времен глагола, выделение в задаче условия, вопроса, решения, ответа.

Обучение по двум направлениям следует вести параллельно и постепенно.

Оказывается, дети не всегда понимают, что значит «задать вопрос», «спросить», а это важно при формулировке задачи. Поэтому следует учить выделять в речи вопросительное предложение и задавать вопрос. Нарисуйте на небольших карточках знаки вопроса и раздайте их каждому ребенку. Объясните на примерах, что такое «спросить», «задать вопрос», а потом назовите вперемешку несколько утвердительных и вопросительных предложений, дав задание поднимать знак вопроса, когда прозвучит вопросительное предложение. (Детям лучше говорить: «Когда я буду о чем-то спрашивать».)

Процесс решения задач требует от ребенка умения ориентироваться во временной последовательности действий: было, есть, будет. Некоторым детям это понять трудно. Прочитайте сказку с последовательно и четко происходящими событиями, например «Теремок», затем попросите ребенка разложить по порядку заранее подобранные к ней картинки. А теперь выберите какую-нибудь картинку, например подбегающую лисичку, и предложите рассказать, что происходило до момента, изображенного на ней, что после и в какой последовательности. Следите при этом за правильностью выбора глагола для описания какого-либо события, согласованности его с временем действия, отображенного па выбранной картинке.

После этого можно перейти к подготовительному этану:

ориентировке в математических отношениях и обозначению величин полосками «часть-целое». Покажите детям яблоко, скажите, что оно целое и что для него подходит большая полоска «целое». Разрежьте яблоко на две части, лучше неравные, каждую из них назовите «часть». Объясните, что любой кусочек яблока можно обозначить полоской «часть». Соедините дольки яблока и покажите, что опять получилось целое. Таким образом, мы продемонстрировали, что соединение частей дает целое, а вычитание части из целого дает часть. То же самое можно показать на примере с букетом цветов. Поставьте в пазу девять цветков, затем пять переставьте в другую вазу. Сопроводите действия такими же объяснениями, как в случае с яблоками.

Проделав описанные выше упражнения, можно переходить непосредственно к математическим задачам. Например: «На ветке сидели 5 воробьев, два воробья улетели. Сколько воробьев осталось сидеть на ветке?» Расскажите, что в задаче есть условие — «Сидели 5 воробьев, 2 улетели» и вопрос «Сколько воробьев осталось сидеть?». Так мы выделяем в задаче условие и вопрос. Если не зафиксировать на этом внимание детей, то, повторяя задачу, они будут останавливаться только на перессказе условий.

Теперь нужно обозначить полосками величины, о которых говорится в задаче. Сначала воробьев было 5. потом их стало меньше, значит, то, что было сначала, это целое (большая полоска «целое»). Улетели не все воробьи, а только часть (маленькая полоска «часть».). Дальше следует записать условие и вопрос задачи полосками. Итак, сидели 5 воробьев ставим большую полоску, улетели ... ставим знак «минус» (детям говорим, что он обозначает «отнять», «уменьшить»), улетели 2 воробья - ставим маленькую полоску. Целое минус часть получается ... ставим знак равенства, получится что? — ставим вопросительный знак. Таким образом запись условия и вопроса задачи при помощи полосок выглядит, как показано на рисунке 97. Прочитать ее можно так: от целого отнять часть, получится что? Далее вопросительный знак меняем на полоску («часть») и получаем решение задачи в виде модели: от целого отнять часть получится часть.

Затем следует записать условие и решение задачи цифрами. По окончании работы обязательно уточните ответ (три воробья) и процесс ее решения (от пяти отнимали два).

Таким образом, процесс решения арифметических задач состоит из следующих этапов: 1) повторение задачи (формулировка условия и вопроса задачи); 2) запись условия и вопроса задачи в виде полосок и знаков; 3) формулировка ответа задачи с использованием терминов «часть—целое», выделение ответа задачи, запись решения и ответа в виде модели;

4) запись условия и вопроса, решения и ответа цифрами и знаками; 5) решение задачи и ответ в цифрах.

Если при решении прямых задач («Сидели пять птиц, улетели три, сколько осталось?» или «Сидели две птицы, прилетели две, сколько стало?») запись условия и решения практически совпадают, то при решении косвенных задач («Сидели несколько птиц, три прилетели, стало пять. Сколько сидело птиц?» или «Сидели шесть птиц, несколько улетело, осталось две. Сколько птиц улетело?») запись условия и решения будет отличаться. Поэтому важно, чтобы дети хорошо ориентировались в математических отношениях, представленных в задаче. Решение косвенных задач в форме моделей сложный процесс для дошкольников. Использование их для обучения решению арифметических задач можно рекомендовать, если ребенок хорошо ориентируется в математических отношениях вообще или если вы преследуете цель подготовить ребенка в школу повышенной сложности.

Следующий этап — составление арифметических задач по модели (рис. 98). Вы можете получить множество вариантов задачи, но главное, что для любого из них подходит одна и та же запись в виде полосок. Может оказаться, что одно и то же число у одного ребенка будет целым, а у другого - частью. Обратите на это внимание. Важно не само число, а его соотношение с другими. Обсудите вместе с детьми, почему в одном случае - это часть, а в другом — целое.

В процессе составления задач у детей часто возникают трудности в выборе глагола, связанного с арифметическим действием. Следите за тем, чтобы глагол соответствовал требуемому арифметическому действию. Так, действие сложения связывается в речи с глаголами будет, станет, стало, действие вычитания — с глаголами осталось, досталось, со хранилось и т. д.

Можно предложить придумать задачу по картинке. Покажите, например, картинку, на которой изображено восемь чашек. Три нарисованы чуть в стороне от пяти. Такое изображение даст возможность придумать задачу как на сложение («Было пять чашек, купили еще три. Сколько стало чашек?), так и на вычитание («Было восемь чашек, три чашки разбились, сколько чашек осталось?»).

Или расскажите детям историю: «Пять девочек собирали ягоды в лесу. Две набрали полные корзинки и решили пойти домой...» Затем предложите придумать задачу. Детям труднее сориентироваться, если рассказ не содержит количественных данных. Например: «Мальчики соревновались н прыжках в высоту, потом пришли девочки, и они стали прыгать вместе». В качестве подсказки можно использовать два любых числа, и с ними уже придумывать задачи по рассказу.

Придумывание задач но рассказу, сопровождаемое их записью в виде полосок и знаков, развивает у детей обобщенные представления о соотношении целого и частей. После того как решение задач будет записано в виде полосок, задайте вопрос, подходит ли эта запись к другим задачам. Сравните задачу, придуманную каждым ребенком, с записью в виде полосок, чтобы дети могли сами удостовериться в этом.

Обучение детей решению и составлению арифметических задач может вестись параллельно. Советуем чередовать задания на решение задач, на составление их по картинке, рассказу с заданными числами. Придумывание же задач но рассказу, не содержащему количественных данных, лучше отложить до момента, когда дети будут хорошо ориентироваться н математических отношениях, уметь записывать их при помощи полосок, а также выделять необходимые компоненты задачи: условие, вопрос, решение, ответ.

Научившись выделять в задаче условия и вопрос, обозначать в виде модели математические отношения, формировать ответ задачи, указывать, какое арифметическое действие выполнено для ее решения, дети смогут сами решать и придумывать арифметические задачи.

Все это безусловно, скажется на развитии познавательных способностей, так как дети смогут применять усвоенные знания в ситуациях, содержащих уже не арифметические, а познавательные задачи.

Таким образом, обучение детей выделению количественных отношений, развитие представлений о числе и числовом ряде, о составе чисел от трех до десяти, обучение решению и придумыванию арифметических задач будет способствовать развитию у них элементарных математических представлений. Использование в обучении различных наглядных моде лей в виде пересекающихся кругов или овалов, «дорожек», полосок разного размера и т. д., с одной стороны, даст возможность сделать представления детей обобщенными, т. с. позволит использовать их не только в тех ситуациях, которые встречались в процессе обучения, но и для гораздо более широкого круга математических задач. С другой стороны, научит выделять существенные для каждой познана тельной задачи признаки, устанавливать между ними различные отношения, выполнять необходимые умственные действия, т. е. разовьет их умственные способности.

Мы постарались дать как можно больше советов, как подготовить ребенка к школе, как развить его умственные способности. В школе дети будут изучать грамоту, математику, литературу, природоведение и многое другое. Ребенок до школьник знакомится с этими сферами человеческой куль туры совсем не так, как школьник, и нашей целью было помочь ему не растеряться в школьной действительности.