Р.Грин В.Лаксон
Введение  в мир числа
  Москва, Педагогика, 1982г

начало                         

Фаза IV. Сохранение

Глава 10. Сохранение простое и не совсем простое

В самом начале, в главе 1, мы рассматривали понятие сохранения. Бросим еще раз на него взгляд, чтобы напомнить главные идеи, сопутствующие этому понятию. Помните, что, несмотря на ясность этого понятия, вы не можете ожидать, что ваш ребенок в какой-то момент усвоит его целиком. Каждый ребенок усваивает его постепенно, переходя от малых чисел к большим, от дискретных материалов к непрерывным, от неделимых количеств к делимым, от примитивной тождественности к тождественности количества. В конце концов он приходит к пониманию того, что данное количество остается постоянным независимо от того, каким образом оно преобразовано, если только ничего не добавлялось и не убавлялось.

В таком изложении основные принципы выглядят достаточно очевидными, однако термин количество не так •уж наивно прост, каким кажется. До сих пор мы сталкивались с простыми количествами. Семь шоколадок остаются семью шоколадками, пока вы не съедите хотя бы одну из них или не отдадите ее. Налитая в стакан вода имеет определенный объем и вес. Перелейте ее в сосуд другой формы — объем и вес воды сохранятся, если пренебречь несколькими пролитыми каплями и тем фактом, что вода все время понемногу испаряется на воздухе. Но и с учетом этих мелких деталей даже взрослые с трудом сравнивают объемы на глаз; два сосуда равного объема, но не одинаковой  формы могут выглядеть неравными.

Для того чтобы преодолеть эти трудности, взрослые используют измерительные приборы и стандартные единицы. Мы покупаем груши килограммами, а молоко — литрами. Твердое—по весу, жидкое—по объему, можете вы подумать. Приятное, легкое правило.

В главе 3, в ПУСах 8 и 18 (с. 40, 47), были введены некоторые из понятий идентичности  (тождественности). В главе 4 мы обсудили идентичность конкретного количества, а в главе 7, в ПУСах 46 и 48 (с. 98, 100), были проработаны определенные стороны количественной и качественной тождественности. В ПУСах 82—86 (с. 130—133) мы изучали количественную тождественность по отношению к преобразованиям ориентации и внешнего вида. Теперь, на более поздней стадии, мы должны посмотреть, что под этим подразумевалось.

Понятия идентичности одновременно и сложны и странны. Более того, они связаны с понятием сохранения такими путями, которые все еще далеки от полного понимания. Когда мы глядим на стул, то наше восприятие меняется, если мы ходим вокруг стула, двигаемся к нему или от него, когда меняем освещение, закрываем один глаз или садимся на стул. Но он остается все тем же стулом. Ничего не добавлено и не убавлено. И хотя мы этот стул -не взвешиваем и не измеряем его объем, мы все же знаем, что он не изменяется. Возможно, что здесь действует принцип обратимости. Хотя внешний вид стула будет зависеть от того места, с которого мы на него смотрим, так что при перемене места могут происходить бесконечные изменения его внешнего вида, но мы всегда можем обратить процесс и восстановить его прежний внешний вид тем, что возвратимся на прежнее место, восстановив тем самым расстояние, угол зрения, условия освещенности и т. д. Так что стул, бутылка и любой объект, рассматриваемые как целое, сохраняют свою тождественность в этом примитивном смысле до тех пор, пока они не сломаны, не сожжены или не разрушены каким-то другим образом.

Примитивная тождественность — это только одна форма тождественности, и притом наименее загадочная. Тождественность личности сложнее поддается анализу, хотя она всецело непосредственна в своему воздействию. Характерные черты личности меняются со временем. Утверждение, что человек, которого мы знали 10 лет тому назад, сегодня все тот же человек, имеет смысл, весьма отличающийся от смысла формулы, что стул является тем же стулом. Внешние черты меняются, и притом необратимо. К тому же отдельные элементы тела не остаются теми же самыми. Большинство его клеток непрерывно умирают, заменяются новыми. Несмотря на все это, понятие идентичности личности сохраняет смысл как по отношению к нам самим, так и по отношению к другим людям независимо от того, видим мы их каждый день или встречаем через много лет.

Любое живое существо или растение проявляет это характерное свойство, имея индивидуальную тождественность, единственную в своем роде. Деревья растут, теряют свои листья осенью, следующей весной покрываются новой листвой, теряют ветки, гниют и в конце концов умирают. И во время всех этих перемен во внешнем облике и составляющих его веществах дерево остается тем же деревом от сеянца до того дня, когда его срубят, чтобы распилить на пиломатериалы. В качестве иллюстрации этого процесса был предложен ПУС 8 (с. 40) с горошинами и головастиками, а ПУС 48 (с. 100) в главе 1 продолжил эту мысль.

Существует старое греческое изречение о невозможности дважды вступить в одну и ту же реку. В этой античной мудрости заложена глубокая правда. Тождественность происходит не от материалов, образующих части системы, а от того, каким способом эта система, будь то ребенок, дерево, река или дом, организована. Вода в реке непрерывно перемещается вниз по течению к морю, а ее убыль возмещается дождями, но очертания реки и путей, по которым в нее вливаются притоки из бассейна, меняются очень медленно. Так как эти изменения непрерывны и происходят в четко определенной системе, то нить идентичности никогда не прерывается.

Среди характерных черт любой системы есть такие, которые легко поддаются описанию числами. У человека есть рост, вес и возраст, и человека, которого разыскивает полиция, характеризуют этими величинами. Его можно описать числовыми терминами и в том случае, если он отличается от других людей наличием только одного глаза, одной руки, одной ноги или отсутствием каких-либо пальцев. У реки есть длина, которая должна быть отмечена в географических книгах. В доме столько-то комнат, и он расположен на участке определенной площади. Эти числа присущи системе и помогают установить и сохранять тождественность той системы, к которой они относятся.

Когда в ПУСе 55 (с. 113) вы спрашиваете своего ребенка, сколько у него глаз или ушей, вы используете число, чтобы помочь ему выработать понятие своей идентичности. Это число описывает одно из его характерных свойств: оно остается неизменным, подобно цвету глаз. Пальцы на руках и ногах дают такую же возможность, за исключением того, что числа здесь больше. Помимо того что они приводят ребенка к десятиричной системе счёта, они также могут помочь ему постичь сохранность числа элементов множества, как мы сейчас увидим

Когда малыш научится счету по биркам до 5 он сможет сосчитать пальцы на одной ноге или на одной руке при этом 5 может быть как в пределах его возможностей непосредственного восприятия числа, так и вне их. Даже ели это число выше уровня его непосредственного, восприятия, он все же знает, что пальцы на руках и ногах не прибывают и не убывают. Это такая часть его самого, как глаза и уши, которая в этом отношении остаётся неизменной независимо от того, может он или нет видеть число непосредственно или сосчитать по биркам до 5. Как только он сможет сосчитать до 5, инвариантность числа  придет в соответствие с тождественностью множества пальцев рук или ног, на которых проведена операция чета. Сохранение его персональной тождественности может затем объединиться с сохранением числа, относящееся к этому частному аспекту его тождественности.

Быть может, ребенок уже сделал или готов сделать такое же открытие из соображений простой тождественности: у табуретки 3 или 4 ножки — неизменное качество данной табуретки, которое он может наблюдать непосредственно, без необходимости прибегать к счету. Может быть, он теперь сможет посчитать стекла в окне то комнаты и обнаружить, что их 6 и что это число неизменно, как само окно.

Вне зависимости от того, производит ли он счет в воскресение или в пятницу, утром, в полдень или ночью, или только он подходит к этому методически и не считает одно и то же стекло дважды или одно пропускает, не всегда придет к одному и тому же числу. Значит, шестиричность присуща окну и становится связанной простой тождественностью окна. В принципе эта раз становившаяся ассоциация может быть использована для подтверждения тождественности окна. Если он проснется ночью, возвратившись домой с дачи, то ему достаточно бросить беглый взгляд на окно, чтобы убедиться, что он в полной безопасности в своей собственной кровати и в своей собственной комнате.

Пока все хорошо. Теперь мы должны включить немного теории, которая не столь прямолинейна, как хотелось бы. Говоря точнее, мы не должны включать— что больше связь теории с практикой для тех, кто хочет знать, что происходит. Так что если ваша любознательность не столь неотразима, как другие возможные заботы, требующие вашего времени, то пропустите следующий раздел.

Некоторые собственные мысли

Вы можете вспомнить, что в ПУСах 30 и 31 (с. 89, 90) мы ссылались на разницу между порядковым и количественным числом. При счете вслух и счете по биркам мы имели дело с порядковыми числами — последовательным свойством чисел. К количественным числам мы подошли с другой стороны. Прежде всего мы обратили внимание на способность вашего ребенка на ранней стадии (задолго до того, как числа станут чем-то большим, чем словами в детских стишках, не имеющих смысла) непосредственно видеть единичность отдельного объекта в отличие от двоичности пары и позднее от троичности тройки. Некоторые ПУСы были разработаны, чтобы подвести ребенка к навыку присоединять числовые ярлыки этим малым множествам без истинного счета в последовательном смысле. Еще позже мы дали ему возможность расширить свой навык на множества из 5 элементов. Но мы, кроме того, пытались связать воедино эти две линии в развитии понимания числа. В критических ПУСах 88—91 (с. 136—138) мы должны были допустить счет по биркам либо использование попарного соответствия, как приемлемую процедуру, именно потому, что на этой стадии мы не хотели подчеркивать необходимость доверять количественному свойству чисел, достигаемых в результате последовательного процесса счета по биркам за пределами возможностей восприятия ребенка.

Чтобы последнее утверждение не казалось устрашающим, давайте выразим его в практических терминах. В них оно станет даже более удивительным. Из 80 детей, которые все могли считать по биркам, по крайней мере, до 20, 5 демонстрировали любопытную способность понимать сохранение числа и в то же время неспособность понимать сохранение количества, если оно было раздроблено. Им дали два набора кубиков, причем дети знали, что эти наборы содержали одинаковое их количество, поскольку они сами сделали наборы равными З атем один набор кубиков поместили в одну банку на подносе, а другой разложили в две аналогичные банки на другом подносе. Все 5 детей сказали, что на каждом из подносов находится по 14 кубиков, как это и было в действительности, но отрицали, что на них находится одинаковое количество кубиков. Для взрослых это может прозвучать странно, но с точки зрения ребенка это вполне резонно. Так же как два стула отличаются друг от друга и каждый имеет свою идентичность, хотя они и несут один и тот же ярлык, который относится к их «стулости» — свойству, экспериментально определенному в словах «что-то для сидения», то точно так же два множества могут иметь одинаковый ярлык 14 и иметь общее свойство четырнадцатиричности только в том смысле, что стандартное, одно и то же действие счета ведет к одному и тому же ярлыку.

Это не изолированный пример. Эти два вида сохранения — числа самого по себе и количества, описываемого числом,—впервые были отмечены другими исследователями. Более того, мы можем прямо связать эти два вида сохранения с отмеченной выше разницей между порядковыми и количественными числами. Счет по биркам, как последовательная процедура, приводит к ярлыку, который является неизменным для считаемого множества. Это характерный признак данного множества, такой же прочный, как цвет, форма, размер или какие-либо иные свойства его элементов. Так оно и'есть в действительности. Но, по существу, это все еще порядковые числительные. Пока не понято то, что числовой ярлык относится не только к данному множеству, но и к характерному признаку количества, общего для всех множеств, несущих этот ярлык, количественное свойство числа нельзя ввести в игру. Кратко говоря, сохранение количественных чисел, обычно усваиваемое раньше, отличается от сохранения порядковых чисел той же величины.

Чтобы получить этот очень важный вывод другим путем, нам нужно только использовать последовательность ярлыков, которые не относятся к количеству. Было бы вполне возможно использовать алфавит таким же способом, как и счет по биркам. Вместо счета по биркам от 1 до 12 мы могли бы перечислять от А до М. Тогда любое множество из 12 элементов получало бы ярлык М как неизменную характеристику. Чтобы проверить это, вы должны использовать ваши пальцы или некоторые другие процедуры попарного соответствия, поскольку 12 остается вне предела непосредственного восприятия. Тогда личность будет свойством множества, которое при обретает ярлык М, если с ним обращаться таким образом. Однако все еще были бы пропущены два важных момента. Во-первых, что М-ичность одного множества совпадает с М-ичностью другого множества, получающего этот же ярлык. Другими словами, то, что М-ичность обладает сверхординарным, почти трансцендентным качеством, сродни голубизне голубого, которое не зависимо и не обязательно связано с каким-либо конкретным объектом или конкретной частью окружающей мира. Во-вторых, что эта М-ичность связана с количеством. 

Вернемся теперь к трудности, которую дети встречают в сохранении количественного числа (количества для разделенного множества. Если ребенок может считать по биркам до 5, то он может убедиться, что у него по 5 пальцев на обеих ногах. Когда его способность непосредственного восприятия возрастет до 5, он сможет прямо увидеть эту пятиричность. Порядковое 5, которое возникнет в результате последовательного процесса счета по биркам, будет тогда соотнесено с количественным б, т. е. с неизменным количеством, которое он устанавливает в результате субитации. Он знает, что это количество должно быть неизменным, потому что пальцы принадлежат ему самому, не добавляются и не убавляются (что связано с тождественностью его как личности), так что неизменность этого количества он может видеть непосредственно.

 Каждая нога в отдельности обладает свойством пятиричности. Как только он сможет сосчитать по биркам до 10, он сможет обнаружить, что ярлык 10 как порядковое число появляется при счете всех его пальцев вместе. Так как все его пальцы обладают неизменностью, связанной с тождественностью его личности, он может поверить в 10 как в количественное число, даже если он не способен воспринимать десятиричность непосредственно. Так как каждая нога в отдельности связана с пятиричностью, то, когда все его пальцы ног составлены вместе как множество и сосчитаны, ему не покажется невероятным, что порядковое 10 связано с десятиричностью таким же образом, как порядковые пятерки связаны с пятиричностью.

Это большой интуитивный скачок, в значительной степени в темноте, но это тот скачок, который он когда-нибудь и как-нибудь должен сделать, если ему придет ся иметь дело с количественными числами, превышающими порог непосредственного восприятия, что и составляет содержание арифметики. Переход от ПУСа 89 к ПУСу 91 (с. 138) поможет ему сделать этот скачок.

Если предположить, что ребенок может объединить два множества пальцев, чтобы таким способом прийти к десятиричности этого объединенного множества, то становится существенным вопрос, может ли он обратить этот процесс. Сколько у него всего пальцев на ногах, если его ноги немного раздвинуты? Все ли еще у него 10 пальцев, когда его ноги расставлены как можно шире? Все ли еще 10 пальцев, когда одна нога находится по одну сторону открытой двери, а вторая — с другой стороны или когда одна нога уже в ванне, а другая -" еще на полу? И наконец, все ли еще у него 10 пальцев на ногах, когда он обут? Если он так считает, то он определенно может справиться с разделенным множеством, которое связано с тождественностью его личности.

Испытайте его с пальцами на руках. Здесь возникает дополнительная трудность: счет должен переходить с одной руки на другую, не только для руки, пальцы которой считают, но и для той, которая ведет счет. Понаблюдайте за ребенком постарше, когда он считает свои пальцы и, переходя на другую руку, использует' простые суммы, и вы увидите, как этот перенос функций от руки к руке ведет к колебаниям и ошибкам.

Переход от порядковых к количественным числам с неодушевленными предметами — это другой рассказ. Можно использовать ПУС 90 (с. 137), чтобы помочь малышу сделать переход от установления попарного соответствия к счету как способу оценки количеств. Это упражнение предложили 18 детям в возрасте от 4 л. 9 мес. до 5 л. 9 мес. (средний 5 л. 3 мес.). Восемь из них начали с утверждения, что в более длинном ряду больше кубиков, чем в более коротком, несмотря на то что оба ряда имели одинаковое число кубиков, причем число, которое полностью укладывалось в рамки их устного счета по биркам. Они упорствовали в этом суждении все время, пока число кубиков в обоих рядах систематически, пара за парой, уменьшалось, и до тех пор, когда в обоих рядах осталось по 2—3 кубика. В этот момент они чрезвычайно удивили». Раньше им не приходило в голову, что слово одинаковый может иметь и другое значение. Только тогда, когда они смогли прямо увидеть численную эквивалентность двух рядов, они сумели отказаться от визуального признака длины.

Это гениальное прозрение, и, как только ребенок споткнется на том факте, что визуальные признаки протяженности и числовые признаки могут противоречить друг другу, оно открывает возможность отнестись к числу как показателю количества даже тогда, когда оно визуально противоречит другим признакам. Чтобы помочь этому прозрению, вам нужно всего лишь обратить процедуру, прибавляя к обоим рядам кубиков пару за парой, побуждая вашего ребенка относиться к числу как к признаку, который ответит на наш вопрос. Вначале малыш, возможно, не будет готов пойти дальше малых чисел, которые он может субитировать, но, познав на опыте, что между числами сосчитанными и числами, воспринимаемыми непосредственно, существует соответствие, он в этом уверится. В результате он будет подготовлен к тому, чтобы воспринять, что если в каждом из двух рядов имеется по 6 предметов, то безотносительно к внешнему виду, который может быть различным, они связаны с одним и тем же числом не только в порядковом, но также и в количественном смысле.

Обсуждая пути овладения понятием сохранения количества, мы предположили, что усвоение понятия сохранения дискретных количеств предшествует усвоению понятия сохранения непрерывных количеств. Как правило, это верно. Если бы каждый ребенок развивался таким образом, то это заставило бы предположить, что такова необходимая последовательность событий. К счастью (или к несчастью, в зависимости от того, как вы на это смотрите), некоторые из детей проявляют при некоторых обстоятельствах способность понимать сохранение непрерывных количеств прежде, чем они в состоянии понять сохранение дискретных количеств. Из 20 ребят, получивших 6 различных тестов на сохранение, двое смогли понять сохранение воды при переливании ее в две банки и в то же время не смогли сделать этого для фасолин при тех же условиях. Восемь детей смогли понять сохранение количества фасолин, но не воды, четверо смогли сделать и то и другое, и шестеро детей не владели никакой формой сохранения при тех же самых условиях. Поскольку для непрерывных сред, таких, как вода, счет невозможен, пока не используется измерительная аппаратура, мы сталкиваемся с головоломным вопросом о том, как возможно понять сохранение без счета, и с еще более неприятным вопросом о том, почему подобный навык, каким бы он ни был, применим только к непрерывным количествам. Честно говоря, мы не знаем. При обсуждении концепций тождественности мы стремились открыть подходы к сохранению независимо от числа, но трудно понять, почему бы это могло действовать в случае воды, но не в случае фасолин.

Наблюдения, действия и понятия, связанные с соответствием и принадлежностью, предлагают другой возможный путь поиска, объяснения, о чем говорилось в главе 4. От соответствия мы приходим к принципу обратимости почти как к побочному выводу. Задолго до того, как ребенок дойдет до подлинного понимания сохранения, он узнаёт, что некоторые изменения, связанные с ощущаемым размером количества, могут быть обратимыми. Бусинки можно нанизать на нитку или собрать вместе; воду из низкой широкой банки можно вылить в высокую узкую и перелить обратно, чтобы придать ей первоначальный вид, заполнив ею то же пространство, что и раньше; глине можно придавать различные формы, а между этими преобразованиями скатывать в шарик того же размера. Все это с очевидностью наводит на мысль, что обратимость, мало помогая ребенку достигнуть истинного понимания сохранения, в значительной степени представляет собой такое же препятствие, как признаки размеров, которые находятся в противоречии с признаками количества. Ребенок должен научиться отвлекаться от преобразований внешнего вида как не относящихся к делу, чтобы стало возможным настоящее понимание сохранения. Вполне может оказаться, что, достигнув подлинного понимания сохранения, ребенок может включить обратимость в систему его понятий потому, что она согласуется с сохранением количества, а также как средство проверки того, что ничего не добавлено и не отнято; однако этому еще нет ясных Доказательств.

Можно заключить, что обратимость является центральным понятием, когда она рассматривается в связи с порядковой значимостью множеств. Генри, о котором мы упоминали в главе 8, прекрасно понял, что различия между множествами обратимы и что попарное соответствие между ними можно восстановить, прибавляя или Убавляя элементы к соответствующему множеству.

Ситуации сохранения

Мы подходим к концу теоретических джунглей и возвращаемся к некоторым наглядным фактам. Прежде всего уточним, что подразумевается под стандартной ситуацией сохранения по Пиаже, который первым изучал эти вопросы по отношению к любым размерам.

Для начала ребенку предлагают два количества, которые выглядят равными и в действительности равны. Можно использовать непрерывные материалы (вода, глина) или псевдонепрерывные (песок, сахар, соль, а также бусинки, морковки или пуговицы, взятые в таком количестве, чтобы их трудно было сосчитать). Обычно вода, песок или фасолины даются в двух одинаковых банках с прозрачными стенками, так что содержимое можно видеть. Глину можно предложить в виде двух шаров равного диаметра.

Дискретные материалы либо предлагаются в такого же рода банках, либо их выкладывают в виде двух рядов или иной простой фигуры. Предметы используются или в небольших количествах, чтобы был возможен счет, или в такой форме представления, при которой легко осуществляется установление попарного соответствия, т. е. два ряда выкладываются параллельно, чтобы было видно, что они одинаковы. Давать указания и следовать им легче, если эти два ряда бусинок или ракушек имеют разную окраску.

Для простоты изложения будем пока говорить о работе с водой. Легче задавать вопросы, особенно маленьким детям, если обе банки обозначены, как «твоя» и «моя» банка. «Это твоя банка, это — моя». Первоначальная эквивалентность устанавливается тем, что в каждую банку наливается одинаковое количество воды из. стандартного сосуда, объем которого меньше объема банки. Так как банки прозрачны, то ребенок легко может видеть, что в обеих банках вода стоит на одинаковых уровнях. Соответствующие операции может проделывать как взрослый, так и ребенок, но следует отметить, что с точки зрения ребенка небезразлично, кто это делает: когда он измеряет и переливает сам, то он знает, что «взрослые колдовства» не повлияют на результаты. Имея две банки, заполненные таким образом, взрослый задает первый вопрос, чтобы удостовериться, что ребенок видит и сознает их эквивалентность: «Как ты думаешь, У нас одинаковое количество воды или у одного из нас больше?» Если он не способен увидеть, что у вас обоих одинаковое количество, то нет смысла продолжать. Предположим, что он может установить первоначальное равенство. Тогда следующим шагом будет переливание содержимого одной из банок в другую банку с отличающимся диаметром. Переливают «твое» или «мое», имеет третья банка больший или меньший диаметр, переливает сам ребенок или взрослый — все это может иметь значение. Вы можете сказать: «Теперь я собираюсь перелить мою воду в эту банку», переливая содержимое в банку большего диаметра, так что то же самое количество воды достигает более низкого уровня.

Следующий вопрос: «У нас обоих все еще одинаковое количество воды или у одного из нас больше?» Любимый одной путь, если ребенок не может сказать одинаково, это: «У нас обоих больше». Если он говорит, что у  вас обоих все еще одинаково, или предлагает другие приемлемые формулировки, то можно задать последний вопрос: «Откуда ты знаешь?» Ребенка можно считать способным понимать сохранение лишь в случае, если он может привести причину. Не очень хорошо, если он будет просто отстаивать: «Я знаю, что это так» или «Потому что это так». Ответ будет обоснованным, если малыш либо отсылает к первоначальному равенству: «Потому что мы налили в каждый из них одинаково», либо принимает в расчет изменение внешнего вида: «Потому что эта банка шире, но ниже». Менее подходящие, но также допустимы мотивировки, которые содержат ссылки на принцип обратимости или включают замечания о том, что ничего не было добавлено или отнято. Строго говоря, согласно канонам логики, единственно правильным аргументом будет комбинация первоначального равенства и того, что ничего не добавлено и не убавлено. Редко ребенок сможет представить подобную утонченную и непробиваемую линию доказательств. Сойдет любая из четырех перечисленных мотивировок.

Такие же действия следует провести с материалами различного вида (глиняные шарики можно раскатывать в колбаски или сплющивать в лепешки) и с разделением количеств (материалы переливаются из одной банки в две другие). Дискретные количества можно поместить в банки и пересыпать из банки в банку или разложить в параллельные ряды, причем один ряд может быть удлинен, укорочен или раздроблен, чтобы изменить его внешний вид (примеры даны на рис. 25—31)

Если ребенок разбирается во всех этих ситуациях и отвечает удовлетворительно на все три вопроса, то считается, что он способен понимать сохранение. Ему может исполниться 8 лет, а в ряде случаев даже больше, прежде чем он освоит понятие сохранения на этом уровне сложности. Наша забота — сделать так, чтобы развитие ребенка не задерживалось из-за того, что у него не было возможности заострить свое воображение и направить свою энергию в нужную сторону в ситуациях, определяемых его все время меняющимися способностями, интересами и аппетитами.

Пример Тоби (5 л. 4 мес.), уровень развития которого во многих отношениях был немного выше уровня развития сверстников, показывает, насколько далеко усвоение понятия сохранения отстоит от положения все или ничего. Он справлялся со всеми приведенными выше заданиями, включая преобразования с разделением количества. Однако его ставила в тупик ситуация В на рис. 26. Тоби отвечал правильно, если второй глиняный шар был лишь чуть-чуть деформирован. Однако, если деформация превышала некоторый предел, он не мог более применять сохранение. Когда шар раскатывали в очень длинную колбаску, он полагал, что теперь в ней больше, чем в шаре. Когда ее скатывали так, что она приобретала первоначальный вид, она сразу же становилась для него такой же. Почему он терялся в этом частном случае — это тема для размышлений.

В предыдущих главах мы приводили ПУСы, проясняющие меняющиеся значения слова одинаковый. В эти ПУСы были введены те типы характеристики внешнего вида и те типы операций, которые допускают употребление этого многозначного слова. Другие ПУСы вводят принципы и средства, упомянутые в тех разделах главы 1, которые посвящены оценке состояний и преобразований. Чтобы ответить на первый из трех вопросов в стандартной ситуации сохранения, ребенок должен подбирать пары, устанавливать попарное соответствие или же считать по биркам. В случае непрерывных количеств, помещенных в банках, первоначальная эквивалентность устанавливается сравнением их внешнего вида, а в случае дискретных материалов, расположенных в ряды,— счетом по биркам, или установлением попарного соответствия, или же, когда используются малые числа, субитированием.

При постановке второго вопроса, следующего после того, как одно из количеств преобразовано, ребенок больше не может их сравнивать по внешнему виду, а установление попарного соответствия становится для него затруднительным. К дискретным количествам все ещё приложим счет по биркам, а в случае малых чисел достаточно непосредственного восприятия. Можно привлечь любые приемы, указанные в главе 1; однако ника к ой из них не будет нужен, если ребенок опирается на основной принцип сохранения — ничего не добавлено и ничего не убавлено, в то время как способность дать приемлемый ответ на последний вопрос зависит от того, насколько он усвоил этот принцип. Для правильного ответа на второй вопрос не нужны никакие операции. Все же вы обнаружите, что вначале ребенок чувствует необходимость применить те или иные операции к преобразованному количеству, когда перед ним поставлен вопрос: «У нас обоих все еще одинаково?»

В этом логическом парадоксе может быть заключен секрет истинного сохранения. Если операции не нужны, зачем их использовать? Существуют, по крайней мере, ре возможные причины, почему он обращается к операциям, когда осваивает концепцию сохранения. Во-первых, он должен сначала использовать такие операции, как счет, чтобы обнаружить, что внешние признаки могут вводить в заблуждение. Во-вторых, он должен использовать эти операции для того, чтобы открыть, что они не имеют отношения к главному выводу_- сохранению тождественности данного количества, к которому ничего не добавлено.

Как помочь ребенку сделать эти два чрезвычайно важных открытия? В том, что касается первого вопроса, мы Уже построили значительную часть фундамента. ПУС 39 (с. 95), например, привел нас к тому, что, наблюдая, как вы кладете 3 бусинки на блюдце, он научился класть такое же число на другое блюдце. Он может проделывать это с помощью непосредственного восприятия троичности, установления попарного соответствия или счета по биркам. Не важно, какой метод он использует. Поскольку он устанавливает эквивалентность самостоятельно, Прибавляя один объект за другим и продвигаясь к большим числам, он достигнет предела непосредственного Неприятия, как в ПУСах 54 и 56 (с. 113, 114).

Выше этого предела он может использовать попарные соответствия, но счет по биркам более эффективен в тех заданиях, которые требуют более долгого решения; та. кие задания входят в ПУСы 62—65 (с. 119—121). На. верное, вы видите, к чему ведет обсуждение понятия тождественности, начатое ранее в этой главе. Наща цель — использовать счет по биркам, связанный с его собственной тождественностью, чтобы перекинуть мост между .малыми числами, которые могут быть восприняты непосредственно, и большими числами, к которым мы приходим только при счете. От числа 2, ассоциированного с двоичностью его ног, через число 5, ассоциированное с пятиричностью пальцев на одной) ноге, он переходит к числу 10 и одновременно к десятиричности, ассоциированной со всеми пальцами ног, взятыми вместе. После того как ребенок освоил количественное свойство малых чисел путем .непосредственного восприятия в сочетании со счетом по биркам, он должен обобщить эту операцию и принцип на большие числа, связанные с большими множествами, которые не поддаются субитации. Как только ребенок подготовлен к путешествию в неизведанное и начинает наряду с тождественностью использовать число для подтверждения того, что количество сохраняется, становится возможным привлечь внимание к другому ошеломляюще простому факту. Так как число не изменяется, пока ничего не добавлено и ничего не убавлено, то вообще нет надобности считать.

Поэтому мы стремимся к тому, чтобы ребенок использовал счет, поскольку дело касается дискретных количеств, чтобы установить исходную эквивалентность и правильно ответить на первый вопрос, чтобы он применял сохранение количества, не проверяя его счетом, а сознавая, что эта проверка не нужна. Чтобы сделать это, он должен пренебречь любыми искажениями формы и внешнего вида как не относящимися к делу и только замечать, что ничего не было добавлено или убавлено. Парадоксально, что он должен научиться технике счета по биркам для того, чтобы открыть, что счет вообще не нужен.

Непрерывные материалы ставят большие проблемы, поскольку они не предоставляют случая применить счет как мостик. Объемы могут быть измерены при помощи средств, которые не всегда имеются под рукой, или с помощью разбиения количества на части и использования малого сосуда в качестве стандартной меры. Простые площади, разграфленные на квадратики, представляют ш аг в этом направлении, и они были использованы в предыдущей главе для закрепления идеи о том, что непрерывному двухмерному количеству (площади) можно приписать число. Каждая пластинка обладает и качественной тождественностью «вещи самой по себе», и непосредственно воспринимаемой количественной тождественностью, связанной с пластинкой. Переворачивая пластинку обратной стороной, мы убираем числовой признак. Естественно напрашиваются вопросы: разве число, ассоциированное с пластинкой, изменяется или исчезает только потому, что оно больше невидимо? Или качественная тождественность пластинки несет в себе количественную идентичность, тождественность числа, ассоциированного с ней, даже в том случае, когда прямой признак числа удален? В принципе можно придумать аналогичную ситуацию, использующую вместо площадей объемы, но она была бы чересчур искусственной и имела бы сомнительную познавательную ценность. Важна сама идея, а рациональное зерно этой идеи содержится уже в двухмерной ситуации. Если она работает в двух измерениях, то ее можно перенести и на три измерения. Для этого требуется только немного уверенности.

Дальнейшие средства

Какие существуют другие пути проверки того, что преобразованный объем не вырос или не уменьшился? Взрослые применяют измерительные устройства, но это становится возможным намного позже того момента, когда ребенок вдруг постигает, что количества не меняются только из-за того, что им придают различную форму. Помимо измерительных устройств, не существует способов прямой проверки; однако помочь ребенку преодолеть впечатление от ложных признаков, связанных с внешним видом, можно пятью способами.

Первый состоит в том, что операция может быть замаскирована. Вместо переливания воды в прозрачную банку, в которой хорошо виден ее уровень, воду можно Перелить в непрозрачную банку. Некоторые дети способны понять сохранение преобразованного количества, если они не наблюдают ложный признак — уровень воды в банке.

Основой второго способа является то, что ребенок Легче откажется от уровня как признака, если ему укажут, что хотя уровень воды выше (или ниже), но зато банка уже (или шире). Таким способом внушается, что изменение одного размера возмещается или компенсируется изменением другого. Эта идея компенсации вряд ли выдержит научную проверку, но она помогает ребенку выйти из-под влияния только одного измерения и учит не поддаваться гипнозу одного лишь уровня. 

 Третий способ основан на том, что операция может быть обращена. Шар из глины, который раскатан в колбаску, можно снова скатать в шар и проверить его первоначальную эквивалентность. Это опять-таки не доказательство. В принципе глина может пухнуть и ужиматься при операции изменения формы, но если мудрый и могущественный взрослый готов привести обратимость как очевидное обоснование того, что конкретное количество остается неизменным, то ребенок готов принять это на веру и может спокойно отбросить внешний вид как признак количества. Чтобы оценить степень требуемого доверия, можно использовать обратимость и компенсирование размеров на дискретных материалах, когда возможен счет, а затем перенести эти процессы на непрерывные количества.

Вместо того чтобы, обратив преобразования, восстанавливать прежний вид одного количества, можно, применив еще раз то же преобразование ко второму количеству, снова привести их в соответствие. Как и в случае обратимости, это не является доказательством: в принципе количества могли бы меняться вместе с их формой. Однако параллельное изменение может помочь ребенку отказаться от предположения, что количества могут расти или уменьшаться при изменениях своего облика.

Пятое средство, помогающее облегчить ребенку понимание сохранения,— это отказаться от стандартной ситуации сохранения и использовать только одно конкретное количество. Такая манера представления поднимает целый ряд теоретических вопросов. Для наших целей достаточно учесть (этому имеется множество доказательств), что для большинства детей сохранение становится более затрудненным, когда им дают для сравнения два количества. Без второго количества для сравнения вопросы должны быть переформулированы. В стандартной ситуации, когда после преобразований одного из количеств ребенка спрашивают: «У нас все еще одинаковые количества?», ему, может быть, трудно решить, просят ли его сравнить два количества в их новом облике, или преобразованное количество с тем же количеством в его первоначальной форме, или же преобразованное количество с другим количеством через его запас информации о том, как выглядело преобразованное количество. Возникают даже более сложные вопросы, если мы примем во внимание связь между качественной и количественной тождественностью. Оставляя в стороне эти мысли, подчеркнем лишь тот факт, что мы можем облегчить ребенку путь, если представим ему только одно конкретное количество, преобразуем его и спросим, осталось ли оно все еще тем же количеством, вместо того чтобы пробираться через стандартную процедуру сохранения.

Существуют еще два способа, с помощью которых может быть достигнуто понимание сохранения непрерывных количеств. Один,, состоит в прямом переносе представлений от дискретных материалов к непрерывным. Другой заключается в том, что число объектов при работе с дискретными материалами непрерывно увеличивается до тех пор, пока они не станут псевдонепрерывными. Все эти семь подходов могут использоваться и будут введены в ПУСы следующей главы.

Вспомните, что было сказано вначале относительно ваших разговоров с ребенком. По существу, вы стоите на пересечении идей. Когда вы демонстрируете ПУСы, говорите ему о том, что вы делаете, что вы только что сделали, что вы собираетесь делать и почему вы делаете все это. «Что произойдет, если я теперь раздвину бусинки в этом ряду?», «Да, он станет длиннее, но останется ли в нем такое же число бусинок?» Произведя операцию, спросите его: «Что теперь произошло?», «Да, этот длиннее, но ведь он не так заполнен, не так ли?», «Можно ли его сделать таким же, каким он был прежде, как ты думаешь?», «Я что-нибудь взяла или добавила что-нибудь? Как ты думаешь?» Вовлекайте его в процесс мышления, Чтобы он мог связать операции с теми понятиями, которые лежат за ними. Предложите его вниманию утверждение о том, что если на первом месте стоит «мы сделали их одинаковыми», то тогда банки или ряды содержат После преобразования то же самое количество независимо от изменения внешнего вида. «Не важно, что они так выглядят, правда?» А главное, пусть он начнет с понятий, связанных с принадлежностью и тождественностью, примитивной, персональной, качественной и количественной, с тем чтобы число и конкретное количество стали частью системы понятий, которую он строит, чтобы придать смысл миру, действительно странному в некоторых отношениях.

Глава 11. Сохранение тождественности, числа и количества

Шаги по направлению к сохранению были сделаны в ПУСах, включающих числа, воспринимаемые непосредственно; в ПУСах, включающих слова тот же самый и количество; в ПУСах, вводящих понятия тождественности; в ПУСах, включающих счет; наконец, в ПУСах, включающих преобразования различных видов. Все, чем занимался ваш ребенок, подводило его к осмысливанию основных понятий, составляющих фундамент сохранения. Так что он уже прошел значительную часть пути. Все, что теперь ему надо сделать, это свить воедино отдельные нити каната, чтобы оказаться у цели.

Прежде всего давайте посмотрим, готов ли он развивать свое понимание /тождественности в тех направлениях, которые мы только что обсудили. ПУС 55 (с. 113) давал ему возможность связать единичность и двоичность непосредственно с частями своего тела. В ПУСе 56 (с. 114) число, воспринимаемое непосредственно без применения счета, было увеличено до 5 за счет использования предметов, окружающих ребенка. Далее ПУС 62 (с. 119) привел его к счету по биркам до 10. В ПУСе 83 (с. 131) он перешел от качественной тождественности к количественной. Теперь мы можем объединить эти операции и понятия.

ПУС 92. Счет пальцев ног. Начните с ПУСа 55 (с. 113), чтобы убедиться, что у малыша все еще 2 ноги, затем перейдите к его пальцам: «Сколько пальцев у тебя на этой ноге?» Он, возможно, захочет сосчитать пальцы, которые так тесно прилегают друг к другу. Если он сидит в ванне, постарайтесь, чтобы он не исчез под мыльной пеной, поднимая ногу для более близкого рассмотрения. При удаче он заключит, что 5—это примерно правильно. В противном случае сосчитайте ему его пальцы, чтобы он уловил идею, а затем пропустите остальное в этом ПУСе на некоторое время.

Когда он вполне уверится, что на его ноге 5 пальцев, переключитесь на другую ногу: «Теперь другая нога. Сколько на ней пальцев?» Он может ответить «5» только на основании симметрии и, возможно, подумает, что это бессмысленный вопрос. Пока он доходит до 5 счетом прямым восприятием или исходя из симметрии, он идет в правильном направлении. «Итак, на них обеих одинаково — на обеих по 5 пальцев».

Теперь идет хитрый момент, когда эти два множества пальцев объединяются: «А теперь сколько всего у тебя пальцев на обеих ногах вместе?» Побудите его считать: «Попробуй сосчитать их». Не волнуйтесь и не суетитесь, если он столкнется с трудностями. Дайте ему сначала применить некоторые его собственные теории. Только если он совсем зайдет в тупик или придет к неправильному ответу, покажите ему, как надо действовать. Затем пусть он все проделает снова. Это важный ПУС, но также и трудный. Возвращайтесь к нему снова и снова и следите, как он справляется с открытием, что у него 10 пальцев, по 5 на каждой ноге. Покажите ему, что безразлично, считать их слева направо или справа налево, все равно у него будет то же число пальцев. Рано или поздно он обнаружит, что так происходит потому, что это все те же пальцы, его пальцы, и они не меняются. Не меняются и связанные с ними числа.

ПУС 93. Счет пальцев рук .  Задайте вопрос: «Сколько пальцев у меня на этой руке?», показывая ему свою руку. Затем переключитесь на другую руку: «А на этой руке сколько у меня пальцев?» Если он опять придет к 5, вы можете подтвердить этот жизненный факт: «Да, на этой руке 5, как и на другой». Затем сразу вопрос: «Сколько пальцев на обеих руках вместе?»

Пока эта последовательность была в тесной связи с последовательностью вопросов при счете его собственных пальцев па ногах. Когда он придет к заключению, что всего у вас 10 пальцев, снова подтвердите его вывод. И затем: «А сколько у тебя? Сколько у тебя пальцев на Руках?» Возможно, что он придет к правильному ответу, не считая или даже не потрудившись взглянуть на свои собственные руки. Он знает, что и у него, и у вас по однои голове, по две руки и т. д. По аналогии он может бить готов предположить, что это соответствие распространяется на пальцы на руках. Даже если он сделает этот интуитивный прыжок успешно, пусть подтвердит его счетом по биркам. Возможно, вам придется ему помочь в связи с упомянутыми выше трудностями при переходе от одной руки к другой: «Вот. Я буду показывать на них, а ты считай. Положи руку. Раздвинь пальцы. Начнем». Дотрагивайтесь до каждого пальца по очереди, и пусть он считает. Если хотите, можете повторить счет до 5 на каждой его руке. Это может помочь ему запомнить, что 5 и 5 — будет 10, как и при счете пальцев на его ногах или на ваших руках.

ПУС 94. Сохранение разделенного множества из 10 элементов. После того как ребенок образовал множество из 10 элементов, мы хотим знать, может ли он относиться к нему как к целому в более трудных условиях. Для этого подходят пальцы рук и ног. Продолжая ПУСы 92 и 93, попросите его расставить ноги или широко раскинуть руки: «А теперь сколько всего у тебя пальцев на ногах?» Как только вы увидите, что это ему трудно, возвратитесь к ПУСам 92 или 93 и затем постепенно увеличивайте расстояние между руками или ногами.

Испытывайте его, когда он стоит одной ногой в ванне, а другой еще на полу, когда на одну ногу надет носок и когда носки н" обеих ногах. Попросите его заложить сначала одну, а затем обе руки за спину, спрашивая каждый раз: «А теперь сколько всего у тебя пальцев на руках?»

Когда нужно, подтверждайте его ответы: «Да, все еще 10», «Давай я сосчитаю их тебе». Если он перестанет видеть тождественность множества, спросите: «Почему ты думаешь, что они изменились?» Слушайте внимательно, что он скажет. Вы сами можете кое-что узнать.

ПУС 95. Счет ступенек. В идеале для этого ПУСа вам нужно два коротких марша лестницы, а не один длинный. В большинстве современных домов около 15 ступенек между первым и вторым этажами. Жаль, что архитекторы, как правило, не проектируют дома так, чтобы помочь детям играть в числовые игры (хотя бы и могли это делать), ко если вам повезет, то в вашем доме найдется пролет, в котором будет от 3 до 6 ступенек, промежуточная лестничная площадка и другой, более длинный пролет. Начните с более короткого марша: «Давай посмотрим, сколько ступенек на атом куске лестницы». Это устный счет с двумя особенностями. Во-первых, ребенок считает всем своим телом, а не просто своими пальцами. Во-вторых, он считает неизменное множество, связанное с чем-то из окружающего мира. Вы должны сами сообразить, как сделать, чтобы один длинный пролет лестницы воспринимался состоящим из двух различных пролетов. Можно было бы выкрасить два множества ступенек в различные цвета, но, скорее всего, это испортит вид лестницы и удивит ваших друзей. Поэтому лучше прикрепить на стене, скажем, возле пятой ступеньки одно из художественных произведений вашего ребенка. Постарайтесь, чтобы оно прочно сидело на одном месте. Иначе, вместо того чтобы показать постоянные свойства множества, связанного с этим числительным, вы можете внушить ребенку что-нибудь другое.

Как только ребенок убедится, что до площадки или до картинки всего 5 шагов, можете переходить к другому множеству. «Хорошо. Давай посмотрим, сколько осталось ступенек. Начинай считать снова». Так он узнает, что в первом пролете всего 5 ступенек и 10 ступенек во втором пролете. Ступеньки — очень устойчивая часть его окружения. Малыш знает, что они не приходят и не уходят. Или, как выразился один ребенок: «Они не движутся». Если вы живете в доме с лифтом, этот ПУС непригоден.

И наконец, вы можете предложить ему сопоставить два множества: «Давай посмотрим, сколько всего сейчас ступенек». После того как он дойдет до 5: «Хорошо, продолжим счет. Какая следующая?»

Чтобы придать больше блеска этому ПУСу, вы могли бы попросить ребенка нарисовать вам большую цифру 5  и повесить ее взамен любой старой картины. Тогда он вязал бы постоянную пятаричность множества с нарисованной цифрой, устанавливая соответствие между визуальным вводом цифры 5 и всеми другими сенсорными вводами, которые приводят к установлению иятаричности первого множества ступенек.

ПУС 96. Разливание воды в два сосуда разкого размера. Возьмите два сосуда одинаковой формы, один сосуд должен быть настолько больше другого, чтобы разница между ними была очевидной. Очень хорошо использовать пластиковые мензурки. Многое говорит за то, чтобы проводить это упражнение в ванной, где ошибочные суждения не доставят неприятностей. Покажите малышу две банки или то, что вы используете, и спросите: «Они одинакового размера или одна больше другой?» Если он не заметит различия, вам нужно найти другую пару банок, более отличающихся по размерам, или проверить его зрение.

Кроме шуток, многие дети страдают дефектами зрения и слуха, что годами остается невыясненным. Если у вас есть хоть малейшее сомнение, немедленно обратитесь к врачу.

Вернемся к делу. «Наполни мне большую банку». Пусть он сделает это как хочет, погружая ее в воду или наливая из крана. Проверьте, чтобы она действительно была полной. «Она не совсем полная. Сверху еще есть немного места». Помогите малышу наполнить ее настолько, насколько это ему доступно. Поддержание верхнего уровня — это еще один вид мастерства, которому он только учится. «Теперь перелей воду из большой банки в маленькую». Наблюдайте за его действиями. «Осторожно, постарайся ничего не пролить». Когда маленькая банка наполнится, покажите ему, что в большой банке осталось еще немного воды или что это слишком много для маленькой банки, если он осторожно переливал.

Вылейте воду из большой банки и обратите процесс. «Перелей ее обратно в большую банку». Когда ребенок окончит эту работу, заметьте, что теперь немножко не хватает. В качестве дополнительного упражнения он может оставить лишнюю воду в большой банке, так что когда он перельет в нее воду из маленькой банки, то большая банка будет опять полной. Вода вся здесь. 

ПУС 97. Принцип обратимости. Продолжайте предыдущие упражнения. На этот раз начните с наполнения меньшей банки. Спросите: «Что произойдет, если мы перельем эту воду в большую банку? Она вся войдет? Или в маленькой банке останется немного воды? Будет ли свободное место в большой банке, или она будет полна водой? Как ты думаешь, до какого уровня поднимется вода в больше'( банке?» Обсудите с ребенком эти мысли, затем пусть он перельет воду. Разговаривайте об изменении, которое происходит, отмечая, что хотя форма воды различна (эта банка шире, но не такая высокая), но ничего не потерялось. Спросите, думает ли он, что здесь все еще то же количество воды.

Затем спросите: «Что произойдет, если мы перельем воду обратно в маленькую банку? Вся ли она войдет?» Пусть он перельет воду обратно, сведя к минимуму разбрызгивание, чтобы он открыл, что та вода, которую он вылил из маленькой банки, снова точно заполняет ее, когда ее наливают обратно. «Вот. Она опять полная». На берегу моря или в песочнице вы можете играть в ту же игру с песком. Подобные вещи можно проделать и используя глину — непрерывный материал, не требующий сосуда. Возьмите шарик из глины, пусть ребенок раскатает его в колбаску или в лепешку, и спросите: «Это все та же глина?» (качественная идентичность). Затем: «Это все то же количество?» (количественная идентичность). Что бы он ни ответил, переходите к обратной операции, спрашивая, что, по его мнению, произойдет, если он скатает глину обратно в шарик. «Будет ли это то же количество?» Это принцип обратимости. Вы можете изменить форму данного количества, а затем обратной процедурой доказать, что это то же самое.

ПУС 98. Переливание воды в сосуды различной формы. Для этого упражнения вам нужны два или более сосуда равного объема, но различной формы, так чтобы на глаз было невозможно определить, что они вмещают одинаковое количество материала. Бутылки разной форумы часто делаются стандартных размеров (пол-литра) — это распространенная емкость для таких товаров, как уксус, молоко, соки. Вам также может понадобиться воронка.

К несчастью для вас, это упражнение нужно проводить вне ванны. Поставьте бутылки на большой противень из плиты, положенный на столе, чтобы локализовать площадь, охваченную бедствием. Это упражнение можно выполнять на сушильной площадке кухонной мойки. Постарайтесь найти два сосуда весьма различного внешнего вида: один высокий и тонкий, другой широкий и низкий. Проверьте сначала, что у них в точности одинаковый объем, иначе у вас будет опять вариант предыдущего упражнения.

Попросите ребенка наполнить одну из бутылок и поставьте ее на противень рядом с пустой бутылкой. «Как ты думаешь, что произойдет, если мы перельем воду из этой бутылки в ту, пустую? Не будет ли для нее слишком много воды?», «Хватит ли здесь воды, чтобы наполнить пустую бутылку?» Варьируйте вопросы, пока он не поймет, чего вы добиваетесь. «Как ты думаешь, не останется ли здесь немного воды?», «В этой бутылке больше места, чем в той?» Не важно, если он откажется угадывать — это его право.

Пусть ребенок перельет содержимое, используя, ее ли нужно, воронку, чтобы избежать разбрызгивания. «Хорошо. Давай посмотрим. Перелей воду в пустую бутылку для меня». В зависимости от его ожиданий ребенок будет или удивлен, или удовлетворен результатом:«Представь себе, они одинаковые». Очень возможно, что он будет немного озадачен этим преобразованием.

Пусть ребенок опять перельет воду в первоначальной сосуд, после того как вы еще раз задали ему те же вопросы, что и прежде. Какой бы ни была его догадка, поговорите с ним о результате, чтобы понять, как работает его голова. «Потом что ты сделал, а что затем? Они должны содержать одинаковое количество». Обратите внимание малыша, если он не сможет заметить первым, на' то, что хотя одна из бутылок выше, чем другая, но она не такая широкая. Ведите его к системе мышления, которая поможет ему разрешить дилемму, возникающую при изменении внешнего вида, так, чтобы он комбинировал и учитывал различные измерения. Это принцип компенсации. Подкрепите идею этого принципа, введя третью бутылку такого же объема, если сможете ее найти, чтобы он понял, что безразлично, из какой переливать в какую,— все они вмещают одинаковое количество.

  ПУС 99. Сохранение эластичной ленты. Используйте большую широкую эластичную ленту (или резинку). Подержите ее перед ребенком, слегка растянув двумя большими пальцами. Скажите: «Посмотри на нее» — и растяните ленту примерно вдвое от ее первоначальной длины. «Теперь ее больше или меньше или здесь то же количество эластика?» Что бы он ни ответил, спросите: «Почему? Как ты узнал?» Сосредоточьте внимание опять на качественной идентичности, если он затруднится в сохранении количественной идентичности. «Это та же эластичная лента?» Обсудите с малышом вопрос, чтобы выяснить ход его мыслей. Если он скажет, что теперь ее больше, потому что она длиннее, заметьте, что она в то же время стала уже, и, наоборот, если он скажет, что она меньше, потому что уже, отметьте, что зато она длиннее и что эти различия восполняют друг друга. Спросите его также, откуда появился излишек или куда он делся, если ребенок думает, что здесь произошли прирост или потеря. Лучшим является ответ, что ничего не прибавлено и не убавлено, так что данное количество должно быть тем же самым. Предложите малышу это утверждение, чтобы посмотреть, что он из него извлечет.

Вследствие своей упругости резиновая лента дает особый пример принципа обратимости. Будучи деформированной, она сама восстанавливает свой первоначальный вид, как только ее отпускают. Дайте ребенку самому поиграть с лентой, чтобы он ознакомился с этой любопытной ее особенностью из первых рук. Задайте ему вопросы из ПУСа 97, связанные с обратимостью, чтобы помочь ему связать этот принцип с понятием тождественности. 

ПУС 100. Добавление и убавление в случае непрерывных материалов. Идея добавления и убавления в случае дискретных материалов, когда ее можно подкрепить субитированием и счетом, была введена в ПУСе 87 (с. 135). Прежде чем приняться за стандартные ситуации сохранения с глиной и водой, мы хотим удостовериться, что ребенок может приложить понятие количественной идентичности и к этим материалам.

Пусть скатает кусок глины в шарик. Укажите на другой кусочек примерно половинного размера и спросите: «Если я добавлю этот кусочек к шарику, что будет?» Отметьте его ответ, и пусть он прибавит второй кусочек к шарику: «Что теперь стало?»; затем: «Это все еще то же количество, какое было в шарике?» Помогите ему если он запнулся: «Этот больше», «Теперь в этом больше».

Повторите то же самое, спросив, что произойдет, если вы немного глины отнимете. Опирайтесь на видимое изменение («Это меньше») и ведите к количественному изменению («В этом меньше»). Постепенно уменьшая величину кусков, отнимаемых или прибавляемых, вы будете толкать его к тому, чтобы он все меньше и меньше опирался на признаки внешнего вида, а судил о количественном изменении только в зависимости от операции добавления или убавления.

Вы можете проделать аналогичную операцию с водой а прозрачной банке, чтобы он мог наблюдать изменение уровня, когда он повышается или понижается. Облегчить ему переход к опоре на действие вы можете не только тем, что будете уменьшать переливаемые количества, но и тем, что перейдете к непрозрачным сосудам. 

  ПУС 101. Складывание частей в целое,   Для этого упражнения вам понадобится помощь человека, занимающегося плотничьим делом или резьбой, или же некоторое количество пластилина и 5 плоских мисок или жестянок для выпечки.

Вы можете заменить пластилин самодельным пластическим материалом. Возьмите две или три части муки на одну часть соли. Тщательно перемешайте, затем добавьте достаточно воды — примерно одну часть, чтобы получить консистенцию, которая так нравится детям. Добавка растительного масла улучшит ее структуру. Окрасьте эту массу свекольным соком или любым другим безвредным красителем, который всегда найдется в кухонном шкафчике. Пусть ребенок сам проделает всю черновую работу под вашим наблюдением. Он получит удовольствие, а вы сохраните руки чистыми. Эту массу держите в закрытой от воздуха пластмассовой коробке или полиэтиленовом мешочке, и она всегда будет мягкой. Масса будет лучше сохраняться, если в нее добавить щепотку квасцов, что улучшит ее свойства.

По существу, это — развитие идеи доски с фигурными вырезками, использованной в ПУСе 22 (с. 66) и связанной с ПУСами 24 и 59 (с. 68, 115). В этом ПУСе можно ввести написанные номера, но пока нет необходимости делать упор на этой стороне дела. Материалы состоят из 5 квадратиков или кругов, сделанных из пластилина или выпиленных из куска фанеры. Можно использовать жестяную форму для выпечки или отдельные миски для пирогов.

Любым удобным для вас способом сделайте 5 кругов, подходящих по размерам к отверстиям. Первый круг оставьте, как он есть, за исключением того, что на обеих сторонах напишите фломастером цифру 1. Другую цифру 1 нарисуйте возле отверстия, в которое он входит. Если вы в качестве доски с вырезами используете и миски для пирогов, то вы можете написать цифры на листках бумаги и приклеить их липкой лентой. Во всяком случае цифры несущественны в этом упражнении. Забудьте о них, если они доставляют хлопоты или оказываются развлечением. Разрежьте второй круг пополам, поставьте цифры 1 и 2 на верхней стороне обеих половинок, а на нижней стороне каждой половинки — цифру 2

Еще одна цифра 2 помещается у отверстия. Продолжайте в том же духе, закончив на 5-м круге, разрезанном на примерно равные секторы, пронумерованные цифрами от 1 до 5 на одной стороне и отмеченные цифрой 5 на обратной стороне; еще одной цифрой 5 пометьте отверстие. Посмотрите на рис. 32, на котором показаны обе стороны всех частей.

В этом упражнении вы всецело игнорируете цифры. Покажите ребенку первый круг в его ячейке на доске, выньте его и спросите: «Войдет он обратно?» Отметьте, что он ответит — «да» или «нет». В обоих случаях скажите: «Попробуй положить его назад». Если он не сможет с этим справиться, можете дать ему поиграть частями и возвратитесь к этому ПУСу на следующей неделе. Если он скажет «да» и вставит круг на его место, перейдите к кругу, разделенному на две части.

Продолжайте до круга, с которым ребенок не сможет справиться или пока не соберет всю серию. Со следующей недели испытайте его на ряде квадратов или прямоугольников, показанных на рис. 33. Затем попробуйте предложить фигуры сложной формы, приведенные на рис. 34.

Главная цель этого упражнения заключается в установлении связи между идентичностью и занимаемым местом. Фигуру, соответствующую месту, можно удалить, разделить на части, снова соединить и вернуть на то же самое место. Она «принадлежит» ему. Ничто не добавлено и не убавлено. Несмотря на все преобразования, она сохраняет свою идентичность как определенная фигура, соответствующая данному месту, которое само совершенно не видоизменяется.

ПУС 102. Написание цифр до 5. До сих пор не было необходимости упоминать цифры, но, если ребенок хорошо прошел через ПУС 101, вы можете начать привлекать его внимание к цифрам. Прежде всего обратите внимание на соответствие цифр на частях кружков и цифры возле отверстия: «Здесь 1. Видишь, и здесь 1. Поэтому это относится сюда». Переходите ко второму примеру: «Этот кружок из двух частей. Поэтому он относится к отверстию с цифрой 2». Проследите, положит ли ребенок на соответствующее место части с цифрами 1 и 2 или с цифрами 2 на обеих половинках.  в  любом случае вы можете заметить, что цифры указы вают правильный путь. Не считайте достижением, если малыш научится читать их вверх ногами. Если он выбрал 1 и 2, вы можете сослаться на порядковые свойства множества: «Так. Один, два», показывая на них во время ответа. Если же он выбрал 2 на обеих частях, вы ссылае тесь на количественное свойство двоичности: «Да. Здесь два и здесь два».

Когда вы перейдете к кругу, разделенному на три части, ребенок должен будет подумать, каким числам, порядковым или количественным, отдать предпочтение. Если он выбирает 1, 2 и 3 или же три цифры 3, вы можете действовать по-прежнему. Если же он выбирает две цифры 3 и одну из цифр 1 и 2, то вы должны привлечь его внимание к этому факту, сославшись на его предшествующие действия, в зависимости от того, какое понимание чисел, порядковое или количественное, он выбирал, когда действовал с половинками.

Если ребенок выбирал порядковое расположение: 1 и 2, вы можете указать: «Теперь здесь три части. Одна. Две. Три. Где цифра 1?» (или соответственно 2). Пусть он найдет ее на обратной стороне сектора, чтобы дополнить последовательность. Если же он сначала исходил из количественного свойства двоичности, скажите: «А где еще одна цифра З? Ты можешь мне ее найти?» Пусть опять сам заполнит ряд, выложив все три цифры 3.

Переходите к 4 и 5, как только ребенок будет к этому готов, но не подталкивайте его. Это, действительно, совсем новая для него мысль, что числа можно представлять в виде письменных символов и что эти символы имеют порядковые и количественные свойства. Пусть он сам выбирает, как ему удобнее посмотреть на это. Только когда он уверен в своих новоприобретенных знаниях, постепенно привлекайте его внимание к другому взгляду на числа в их связи с упорядоченными множествами. Это упражнение не является существенным для овладения понятием сохранения, но оно поможет ему, когда он пойдет в школу и начнет учиться числам и их записи цифрами. То же самое можно сказать и о счетных столбиках, упоминавшихся в главе 8. В этом случае цифры — это только фигурки, но рано или поздно ребенок познакомится с ними как с символами, связанными с числами, с которыми он уже научился обращаться как с количествами.

ПУС 103. Соединение частей без внешнего признака. После ПУСа 101 независимо от того, заинтересуется ребенок ПУСом 102 или нет, вы может удалить внешний признак, каким является место, предназначенное.дли кружка. Это сделает ПУС чуть-чуть труднее, так как будет отсутствовать пустое отверстие, которое напоминало бы малышу, какую фигуру нужно восстановить

Уберите доску с отверстиями и положите круги перед малышом в ряд. Дайте две части второго круга и спросите: «Ты можешь снова сложить их вместе так, чтобы они выглядели, как другие?» Покажите ему, что вы подразумеваете, если его озадачит ваш вопрос. Как только он будет готов к этому, переходите к другим кругам. И наконец, пусть он попробует составить и другие фигуры (рис. 34), не пользуясь соответствующими им отверстиями.

ПУСы сохранения

Наконец, мы подошли к завершающей стадии и можем изложить ПУСы, в которых требуется подлинное понимание сохранения. Мы начнем с малых дискретных количеств, преобразовывая их различными способами; затем продвинемся к большим числам, а от них перейдем с псевдонепрерывным и, наконец, к непрерывным множествам. Весь нужный фундамент заложен. Ребенок уже начал оперировать с тремя измерениями. Может быть, он не совсем уверен во всем, что делал до сих пор, и может допускать случайные ответы, в таких случаях надо вернуться к более ранним ПУСам, чтобы напомнить ему существо дела. Но если ребенок овладел предыдущим материалом, до цели идти недалеко. Однако и теперь не все ему удастся сразу. Еще многое ему нужно изучить и обдумать. Старая истина гласит: поощряйте его все делать без труда, но непременно делать. К тому времени, когда малыш вполне постигнет сохранение для любых материалов и в любых условиях, он пробудет уже несколько лет в школе и будет хорошо подготовлен для занятий более формальной математикой.

ПУС 104. Сохранение малых дискретных количеств. В некотором отношении ПУС вытекает непосредственно в ПУСов 89—91 (с. 136—138), и, может быть, их следует  напомнить ребенку, прежде чем предлагать ему данный ПУС. Выложите два параллельных ряда из 4 бусинок или ракушек так, чтобы ряды имели равную длину желательно разную окраску. Придерживайтесь общего способа представления, описанного в предыдущей главе: «Красные — это твои, а синие — мои». Задайте первый вопрос: «У нас обоих одинаковое число бусинок / ракушек?» Так как здесь нет ложных признаков и ребенок  уже оказывался в более сложных ситуациях, то он должен без труда установить их равенство непосредственно (субитированием), или же установлением попарного соответствия, или счетом. Если у ребенка возникнут затруднения на этой стадии, -то ясно, что либо вы поспешили, либо он решил выйти из игры. Займитесь чем-нибудь, что ему нравится.

Если малыш согласен с тем, что вначале у вас обоих одинаковое количество, то перейдите к вопросу 2: «Я собираюсь немного раздвинуть мой ряд. Когда я это сделаю, будет ли у нас все еще одинаковое количество бусинок / ракушек?» Этот вопрос для него будет твердым орешком. Не считая ПУСов 87 и 97 (с. 135, 164), здесь его впервые просят вообразить себе результат того, что еще только должно произойти. Ему может понадобиться время, чтобы обдумать этот вопрос. Независимо от того, что он ответит, если вообще не промолчит, произведите преобразование, о котором вы сказали, и задайте вопрос 3: «Ну вот. А теперь у нас одинаковое количество или у кого-то больше?» Примите его ответ, каким бы он ни был, и задайте последний вопрос: «Откуда ты это знаешь?» Если ребенок ответит на все четыре вопроса без осечки, проверьте его на рядах из 5 предметов, сдвигая бусинки его ряда, вместо того чтобы раздвигать свои. Если у ребенка возникнут трудности при ответе по ряду из 4 предметов, то вернитесь к рядам из 3 предметов и в конце концов к рядам из 2. Если он все еще в затруднении, то начните все сначала.

Повторите этот ПУС с вариациями, как вы это делали в ПУСе 85 (с. 133), выкладывая различные узоры, чтобы установление попарного соответствия и счет стали труднее. Сопоставление узоров на глаз, будучи более примитивным процессом, сильнее направляет внимание ребенка на тождественность двух множеств, косвенно наводя на мысль о существенных неудобствах счета и установления попарного соответствия как метода сохранения конкретных количеств.

ПУС 105. Сохранение больших дискретных количеств. Если вы предлагаете ребенку небольшое число предметов, он может получить ответ и без установления попарного соответствия. Как только вы увеличите число предметов и выйдете за пределы ПУСа 104, в котором возможно непосредственное восприятие, ему нужно будет придать более систематический подход. Поощрите ребенка использовать для проверки счет сначала над малыми числами. Выложите ряды из 4 бусинок в ситуации ПУСа 104, но поставьте еще несколько вопросов и предложений. После вопроса 1, если он согласен с тем, что у вас обоих одинаковое число, спросите его: «А сколько у тебя? И сколько у меня?» Подтвердите: «Да, у нас обоих по 4». После вопроса 2 вслед за утверждением ребенка, что после преобразования у обоих останется одинаковое число, спросите: «Так сколько у тебя будет? И сколько будет у меня?» Этим вы поощряете малыша ставить количественную идентичность четыричности выше качественной идентичности каждого ряда: «Да, у нас будет по 4 у каждого». Произведите изменение, о котором вы говорили, в одном из рядов, задайте вопрос 3 и снова упорно преследуйте его прямым вопросом о числе, обязывающим его сослаться на четыричность обоих рядов. Очевидным ответом на вопрос 4: «Откуда ты это знаешь?» — тогда становится: «Потому, что я их сосчитал» или «Потому, что у нас обоих по 4». Если ребенок дает более простой ответ: «Потому, что я могу это видеть», согласитесь, что это так, но снова привлеките его внимание к числу: «Да, конечно, ты можешь. И у нас обоих все еще по 4, не так ли?»

Двигайтесь дальше к множествам из 5 и 6 объектов, все время вводя число в обсуждение. К тому времени, когда вы предложите ряды из 7 и 8 объектов, ребенок сможет относиться к числу как к признаку, даже если оно выйдет за пределы его непосредственного восприятия. В этот момент вы можете сделать акцент на идее, что так как ничего не добавлено и не убавлено, то, конечно, у вас обоих должно оставаться одинаковое число. .Закончите ПУС тогда, когда ребенок подкрепляет свое мнение ссылкой на число: «У нас обоих по 8» или «У нас все еще одинаковое число» — с добавлением: «Это правильно. Мы ведь ничего не убрали. И ничего не доложили. Так что они должны быть одинаковыми».

ПУС 106. Добавление к большим множествам. Этот ПУС помимо того, что он вытекает из ПУСа 105, связан еще с ПУСом 87 (с. 135), который можно использовать как вводное упражнение. Как и прежде, выложите два параллельных ряда, каждый из 5 бусинок или пуговиц: «Твой и мой». Спросите: «Сколько бусинок у тебя?» Затем: «Сколько у меня?» Уменьшите число бусинок в рядах до 4 или 3, если ребенок не может ответить на какой-нибудь из этих вопросов. Если же он с ними справился, то подтвердите: «Правильно, у нас обоих по 5. У нас обоих одинаковое число. Если я добавлю еще одну к твоему ряду, будет ли у нас обоих все еще одинаковое число бусинок?» Независимо от его ответа («да», «нет», «не знаю») переходите к следующему вопросу: «Давай посмотрим, хорошо? Вот, еще одна тебе. Теперь у нас обоих все еще одинаковое число или у одного из нас больше?» Подтвердите, если ребенок скажет, что у него больше. В любом случае попросите его проверить числа: «Так сколько теперь у тебя? И сколько у меня?» Переходите к большим числам, как только малыш войдет в рабочий ритм, добавляя попеременно бусинки к своему и вашему ряду.

ПУС 107. Убавление из бОльших множеств. Следуйте порядку, установленному в ПУСе 106, но теперь поставьте альтернативный вопрос: «Если я уберу одну бусинку из моего ряда, останется ли у нас по одинаковому числу бусинок?» Продолжайте в том же духе, пока ребенок не сможет справиться примерно с 8 бусинками в ряду. Вставляйте добавочные замечания, чтобы напомнить, почему у одного из вас стало больше: «Да, это потому, что мы убрали 1 бусинку из моего (твоего) ряда». Пусть он, если хочет, произведет преобразование так, чтобы получить дополнительную информацию, напоминающую ему, что что-то было добавлено или убавлено.

В качестве последнего преобразования попросите малыша перенести бусинку из одного ряда в другой: «Если ты возьмешь одну бусинку из моего ряда и положишь ее в твой...» Кстати, хотя в этом случае изменение и будет более наглядным, но добавление и убавление нужно связывать именно с одновременным изменением числа бусинок в обоих рядах. «Правильно. У тебя стало на бусинку больше, а у меня на бусинку меньше».

На каком-то этапе в ПУСах 105—107, когда ребенок станет действовать вполне уверенно, хорошо бы изменить цвет бусинок, чтобы он не придавал особенного значения какому-либо цвету, а учился основываться только на числе бусинок в каждом ряду как на ярлыке, относящемся к количеству. Чтобы быть уверенным в этом, закончите упражнение, применяя два ряда, состоящие из бусинок одинакового цвета.

ПУС 108. Преобразование пересыпанием. Теперь мы перейдем от ситуаций, в которых возможен счет, к ситуациям, в которых считать значительно труднее или даже совсем невозможно. Как и в ПУСах 86 (с. 133), 96—98 (с. 163—165), мы будем для преобразований применять операции пересыпания. Начнем с двух высоких узких банок и одной широкой низкой. Попросите ребенка: «Положи 8 красных бусинок в эту банку», указывая на первую — высокую узкую — банку. Затем дайте ему другую банку, тоже высокую узкую, и попросите: «Положи 8 бусинок и в эту банку». Если вы найдете, что это помогает, вы можете называть банки «твоя» и «моя» и для двух множеств используйте сначала различные цвета. Вопросом 1 проверьте: «У нас одинаковое число бусинок? У нас одинаковое количество?» Если он не сможет справиться с этим вопросом, уменьшите число бусинок, вернувшись, если это необходимо, к 3 бусинкам в каждой банке. Подтвердите правильный ответ:

«Да, ты положил в банки одинаковое количество». Введите в действие широкую низкую банку и поставьте вопрос 2: «Если я пересыплю мою кучку в эту банку, будет ли у нас по-прежнему одинаковое количество?» Отметьте его ответ, произведите перемещение и задайте вопрос 3:

«Ну вот. А теперь у нас одинаковое количество или у одного из нас больше?» Опять отметьте его ответ и переходите прямо к вопросу 4: «Откуда ты это знаешь?»

В зависимости от ответов ребенка вы можете развить этот ПУС в направлениях ПУСа 104, переходя к меньшим числам, чтобы помочь малышу справиться с вопросами в связи с этим частным видом преобразования. Можно помочь ему постичь сохранение, предложив сосчитать оба ряда после пересыпания или обратиться к принципу обратимости: «Если я пересыплю мои бусинки обратно в эту банку, тогда у нас будет одинаковое число?» Пусть он сделает это сам, если хочет убедиться, что не произошло ничего подозрительного.

Обобщите принцип, лежащий в основе этого ПУСа, перейдя к двум низким широким банкам, пересыпая их содержимое в высокую узкую банку и преобразуя иногда множество малыша вместо вашего. Снова и снова напоминайте, что так как ничего не было ни добавлено, ни убавлено, то два множества должны быть одинаковыми. Заметьте, что в этом упражнении, после вопроса 1, можно обойтись без ссылок на число бусинок, опять-таки если он способен понимать сохранение без проверки счетом.

ПУС 109. Маскировка преобразования. Предыдущий ПУС может вызвать у ребенка трудности не только потому, что была исключена поддержка счетом, но и потому, что ребенка могло вводить в заблуждение изменение внешнего вида. Возможно, что, правильно ответив на вопрос 2, т. е. предсказав, что у вас обоих после пересыпания будет одинаковое количество, он изменит свое мнение, когда столкнется с изменившимся после преобразования внешним видом. Чтобы помочь ребенку преодолеть этот барьер, вы можете уменьшить влияние ложного признака, скрывая содержимое банки, в которую насыпается материал. Сделайте это, используя непрозрачную банку, либо закрасив ту, которая у вас есть, либо же заклеив ее изнутри толстой бумагой. Наконец, вы можете во время пересыпания поместить третью банку за экраном так, чтобы была видна только ее верхняя часть.

Все проводится так же, как в ПУСе 108, но с точки зрения ребенка с тем единственным отличием, что теперь он не видит содержимого третьей банки после пересыпания.

Поскольку малыш не замечает изменения внешнего вида, он может понять сохранение, основываясь прежде всего на том факте, что он положил в них столько же, а также на том, что ничего не было добавлено или убавлено, или же, наконец, на том, что процесс обратим. В таком случае вы можете сделать еще один шаг в этом ПУСе, удаляя экран после того, как ребенок высказал свое суждение о том, что у вас обоих осталось одинаковое количество, и обосновал свое мнение удовлетворительными причинами. Он, возможно, потом переменит свое мнение. Вы можете помочь малышу, спрашивая его, почему он теперь думает, что количества стали разными. Почти неизбежно он сошлется на изменение одного или другого измерения, обычно высоты. Вы можете в противовес указать на компенсирующее изменение другого измерения: «Да, но эта банка вместе с тем шире / уже». Кроме того, вы можете воспользоваться обратимостью преобразований: «Если мы высыплем их обратно в эту банку (в первоначальную банку), будет ли у нас снова одинаковое количество?» Пусть он попробует это сделать обсудите с ним этот вопрос. Выясните, как он рассуждает в этой ситуации, как он взвешивает разные виды информации, как — правильно или неправильно — разрешает кажущееся противоречие между событиями и проявлениями внешнего вида и как он аргументирует свои суждения.

П УС 110. Понимание сохранения псевдонепрерывных количеств без опоры на счет. В этом ПУСе мы отказываемся от счета как средства, и устанавливающего, и подтверждающего эквивалентность. Как и раньше, возьмем три банки, но теперь они должны быть достаточно большими, так как мы хотим использовать такое большое количество элементов, которое трудно сосчитать. Попросите ребенка насыпать сколько-то бусинок в его банку, а потому в вашу: «Насыпь мне такое же количество». Затем спросите: «У нас одинаковое количество или у одного из нас больше?» Если он думает, что у одного из вас больше, попросите его: «Сделай, чтобы было одинаково». Он может сделать это, досыпая бусинки в одну банку, отсыпая из другой или пересыпая из банки в банку. Как бы он ни действовал, пусть продолжает, пока не успокоится на том, что «у нас обоих одинаково». Затем задайте вопрос и далее следуйте, как в ПУСе 108.

Так как ребенку считать не представляется возможным, то вы должны обратиться к другим принципам. Укажите на изменение размеров: «Ниже, но шире». Используйте обратимость, восстанавливая первоначальный внешний вид. Сошлитесь на первоначальное неравенство: «Но ты в них насыпал одинаково». И напомните, что «ничего не было добавлено и не было убавлено». Все эти четыре аргумента одинаково хорошо приложимы к предыдущему ПУСу, где он мог прибегнуть к счету, если хотел подтвердить эквивалентность. Если в ПУСе 108 ребенок согласился признать счет ненужным, то, значит, он способен перенести свою веру в эти принципы и в данном ПУСе, в котором счет исключен.

Пока ребенок не готов отказаться от счета как от нереальной и не относящейся к делу процедуры, он не может понимать сохранение непрерывных или псевдонлепрерывных количеств. Смысл упражнений с псевдонепрерывными материалами, перед тем как переходить к непрерывным, состоит в том, что псевдонепрерывные материалы выглядят так, как будто их элементы можно сосчитать, и это в принципе возможно. Это просто означает, что в какой-то момент операция пересчета становится практически невозможной.

Применяйте маскирующую технику ПУСа 109, если это поможет ребенку для понимания сохранения.

ПУС 111. Сохранение (глина). Глина — это, несомненно, непрерывный материал. Она имеет свойства, которые отличают ее от дискретных материалов, с одной стороны, и от жидкостей, с другой. Она также отличается от таких псевдонепрерывных материалов, как сахар и песок, своей пластичностью, хотя и приближается по своим свойствам к влажному песку, который также можно формовать. Как и жидкости, она несжимаема. Ее форму можно легко изменить, но объем и вес данного куска глины остаются постоянными, хотя этот факт вряд ли представляется ребенку очевидным.

Как и в ПУСе 110, ребенок не сможет использовать счет как средство установления или проверки эквивалентности. Попросите его скатать два шарика из глины разного цвета, один для себя, а другой для вас, причем так, чтобы у обоих были одинаковые количества. Убедитесь, что он удовлетворен их эквивалентностью: «Итак, у нас обоих одинаковое количество?» И пусть он подгоняет размеры двух шариков до тех пор, пока сам не останется доволен при их сравнении. Вы можете продублировать проверку, спросив его: «Если мы обменяемся, будет у нас одинаковое количество?» Покажите ему, что вы подразумеваете под обменом.

Другой путь введения в этот ПУС — сделать два шарика равного размера и позволить ребенку провести все уточнения, которые он считает необходимыми для того, чтобы сделать их эквивалентными. Когда он согласится, что у вас обоих одинаковое количество глины, сообщите о предполагаемом преобразовании и спросите о его будущем результате: «Если я раскатаю мой шар в колбаску, будет ли у нас одинаковое количество?» Отметьте его ответ и раскатайте глину. «Вот. А теперь у нас одинаковое количество глины?» Снова отметьте его ответ и продолжите: «Откуда ты знаешь?» или «Почему ты так думаешь?» Оцените его ответ и подтвердите его суждение, если он усвоил сохранение. Как и прежде, если ребенок не способен понять сохранение, обратите его внимание на четыре главные идеи, которые помогают усвоить сохранение. Напомните о взаимной компенсации изменяющихся размеров и спросите, что произошло бы при обратном процессе. Используйте обратимость и прием со скрытым преобразованием и напомните малышу, что первоначально он сделал шары равными и к ним ничего не добавлялось и ничего не убавлялось. Возможен еще один ход, если он думает, что количества изменились. Дайте ему раскатать другой шар в колбаску, пока в его глазах не восстановится эквивалентность. Так же как и при обращении преобразования, это ничего не доказывает, но может натолкнуть на дополнительные мысли.

ПУС 112. Добавление и убавление (глина) — парные сравнения. Следуйте процедуре, общей для ПУСов 106 и 107. Установите эквивалентность, как в ПУСе 112, а затем спросите ребенка: «Если я добавлю глины к твоему шару, будет ли у нас одинаковое количество?» Примите его ответ, каким бы он ни был, и добавьте к его шару довольно-таки большой кусок: «У нас по-прежнему одинаковое количество или у одного из нас больше?» Выслушайте, что он ответит, и закончите обычным выяснением, почему.

Проведите подобную же процедуру, удаляя большой кусок глины, повторяя те же вопросы относительно того шара, который изменяется. Наконец, попробуйте перенести кусочек глины с одного шара на другой. Постепенно уменьшайте добавляемое количество (удаляемое или добавляемое), пока ребенок не придет к выводу, что если шары были одинаковы вначале, то их эквивалентность должна теряться, сколь бы малые количества ни переносились от шара к шару.

ПУС 113. Добавление и убавление (вода) — парные сравнения. Упражнение с водой проводится так же, как и с глиной. Действуйте стандартным методом, предложив ребенку налить равные количества воды в две одинаковые банки. Он сможет сделать это либо на глаз, сравнивая уровни, или же наполняя третий сосуд и переливая из него воду в данные ему две банки. Возможно, что вам самим проще проделать эту процедуру, показывая, что вы делаете, и предлагая ребенку подтвердить исходную эквивалентность количеств в двух банках. Задайте вопрос 1: «У нас обоих одинаковое количество воды?» Обсудите с ним проблему, если ему трудно проследить, что происходит, и если он не очень уверенно знает, как установить эквивалентность. Если эквивалентность доставляет ему слишком много хлопот, то он не подготовлен к этому упражнению.

Задайте вопрос 2: «Если я налью в твою банку еще немножко воды, будет ли у нас по-прежнему одинаковое количество?» После его ответа добавьте в его банку столько воды, чтобы различие стало очевидным, и поставьте вопрос 3: «А теперь у нас одинаковое количество воды или у одного из нас больше?» После его ответа задайте вопрос 4: «Как ты узнал это?» или «Почему ты так думаешь?», чтобы выяснить его доводы, и обсудите с ним все происходящее в соответствии с тем, как он его представляет себе. Если он просто укажет на изменение уровней, напомните ему: «Мы добавили немного в эту банку, не так ли?»

Перейдите к уменьшению количества, как это делали с глиной. Закончите простым переливанием из одной банки в другую, постепенно уменьшая количество переливаемой воды до тех пор, пока изменение уровня воды не станет трудно различимым.

ПУС 114. Переход от качественной идентичности. жидкости к ее количественной идентичности. Используя формулы «твое» и «мое», мы подсказываем ребенку, что к понятию идентичности можно отнестись как к способу сохранения данного количества. При желании вы можете ПУС с глиной сделать аналогичным этому ПУСу с водой-, если ПУС 111 его затруднит.

В целом для этого упражнения вам понадобятся четыре пластиковых подноса — три одинакового размера, а один существенно большего. .Оптимальные размеры для маленьких подносов — примерно 15 см длина, 10 см ширина и 5 см глубина. Большой поднос может быть размером 20 х 16 см и, возможно, чуть глубже, хотя его глубина не особенно важна. Кроме того, вам понадобится пара пластмассовых плавающих уточек.

Поставьте два меньших подноса, называя их прудами или озерами, и налейте в них поровну воды. Как и прежде, установите их эквивалентность, проверив, что ребенок согласен с тем, что в обоих прудах одинаковое количество воды. Затем пусть он выберет утку, чтобы пустить ее в свой пруд, а вы тем временем пустите вторую утку в свой пруд. Когда все будет готово, вы можете сказать, что его утка хотела бы поплыть в другой пруд. Введите третий маленький поднос, но без воды: «Здесь сухо, поэтому твоя утка должна взять с собой свою воду». Помогите ему перелить воду в третий поднос вместе с уткой, затем, указывая на старый пруд, мимоходом задайте вопрос об идентичности: «Это та же вода, что была у утки здесь?» (качественная тождественность). Обсудите его ответ, если нужно, а затем спросите: «Это то же самое количество или здесь воды на сколько-нибудь больше?», указывая на новый пруд (количественная тождественность).

Так как оба пруда выглядят одинаково, и у ребенка все еще есть ваш пруд для сравнения, то у малыша пока не должно быть трудностей, если он и не понимает полностью, о чем идет речь. Если же трудности возникли, то нужно быстро отступить. Попробуйте просто поиграть с ребенком, чтобы разрядить настроение.

В том случае, если он согласен, что эта та же самая вода и то же самое ее количество, вы можете быть уверены, что он руководствуется общими принципами. Отложите упражнение на день, затем так же начните этот же ПУС, но на этот раз переливайте воду в больший пруд. Теперь ребенок готов к ПУСу 115.

ПУС 115. Сохранение количества жидкости. Помимо того что этот ПУС непосредственно вытекает из ПУСов 111, 112 и 114, он связан с ПУСами 94 и 98 (с. 162, 165), т. е. с ПУСами, которые связаны с переливанием жидкости и подводят к мысли, что жидкость «соответствует» сосуду.

Как и в двух предыдущих ПУСах, установите эквивалентность количества воды, налитой в две одинаковые банки. Введите третью банку другого объема и предложите ребенку высказать свое мнение о возможных результатах переливания, которое вы собираетесь сделать, отметив его ответ. Перелейте воду и задайте затем вопросы 3 и 4, как и прежде.

Используйте все применявшиеся ранее приемы и доказательства, чтобы помочь ребенку понять сохранение данного количества. Варьируйте внешний вид банок и попеременно переливайте содержимое «его» и «вашей» банок, когда он будет готов обобщить процедуру. Если он будет колебаться в этом упражнении, упростите ситуацию, выведя из игры банку, служащую для сравнения. Опустите вопрос 1 относительно эквивалентности, так как теперь он будет бессмысленным. Начинайте прямо с вопроса 2, сформулировав его подходящим образом: «Если эту воду мы перельем в другую банку, будет ли это все та же самая вода?» (качественная тождественность) . Затем: «Будет ли это все то же количество?» (количестввнная тождественность). Перелейте воду и поставьте вопрос 3, также заново сформулированный так, чтобы он относился к двум видам идентичности. Далее идут вопросы типа: «Как ты узнал?» или «Почему ты так думаешь?»

ПУС 116. Сохранение разделенного множества.   Нет сомнений в том, что способность понимать сохранение разбитого на части множества требует особого озарения со стороны ребенка. Поэтому этот ПУС необходимо вводить как можно более осторожно. Введением в данный ПУС может служить ПУС 94 (с. 162), в котором ребенку помогает понятие его личной идентичности.

Начинайте с множеств, содержащих не более 3 кубиков или бусинок, чтобы у ребенка не возникало трудностей с установлением эквивалентности двух множеств. Пусть он возьмет 3 красных кубика себе и даст вам 3 синих кубика, и пусть он подтвердит, что у вас обоих одинаковое число кубиков — по 3.

Теперь спросите ребенка: «Если я положу два моих кубика сюда,— показывая на место в нескольких сантиметрах в сторону, — а еще один сюда,— показывая на второе место, отстоящее на пару сантиметров в противоположном направлении,— то будет ли у нас с тобой одинаковое число кубиков, или же у кого-нибудь станет больше?»

Отметьте его ответ, проведите операцию и поставьте вопросы 3 и 4 обычным образом. Если у него возникнут трудности, предложите ему посчитать, сдвигая, если нужно, разделенное множество теснее. В качестве введения перейдите к упражнению только с одним множеством, как это делалось в предыдущих ПУСах, и соответственно измените вопросы. Если он и тут проявляет признаки смущения, то шуткой выйдите из положения и отложите этот ПУС на одну-две недели. Ребенок к нему не готов.

 По мере того как он будет осваивать этот ПУС, вы можете увеличивать число объектов в каждом множестве, беря больше 5 объектов и дойдя, возможно, до 8 или 9 вы можете убрать цветовой признак, предложить ребенку самому проделать разделение, наконец, попеременно менять разделяемое множество («ваше» или «его»). Внимательно смотрите и слушайте, будьте готовы убрать любое сомнение и обменивайтесь с ним мыслями.

ПУС 117. Сохранение разделенного псевдонепрерывного количества. Так же как вы перешли от ПУСов 104 и 105 (с. 173, 174) к ПУСу 108 (с. 177), используя банки как переход к ПУСу 110 (с. 179), следуйте той же схеме развития и с разделенными количествами. Все три банки могут быть одинакового вида и размера. Пусть он счетом установит эквивалентность 8 или 9 бусинок, положенных в каждую из двух банок, а затем спросите: «Если несколько моих бусинок пересыпать в эту банку, будет ли у нас с тобой одинаковое количество?» Один из способов уменьшить неясность этой ситуации заключается в том, что у вас обоих имеется еще и поднос, так что вы можете говорить о количестве, имеющемся на подносе. Если третья банка стоит на одном из подносов, вы можете поставить вопрос более определенным образом, относя его к «твоему подносу и моему», т. е. «На твоем подносе такое же количество, как и на моем?» или «Если высыплю сколько-то моих бусинок в эту банку, будет ли на наших подносах одинаковое количество?» Так как операция ограничена отдельным подносом, то это может помочь ребенку удержать идентичность разделенного множества. Если окажется, что пересыпание для него чересчур ненаглядно и он теряется, то позвольте ему посчитать, чтобы убедиться в неизменности разделенного множества.

Как только он сможет определять и устанавливать эквивалентность, не прибегая к счету, переходите к псевдонепрерывным материалам, таким, как бисер. Не забывайте про уже освоенные аргументы и доказательства, подтверждающие идентичность количества. Напомните ребенку прежде всего, что он уже вначале сделал количества одинаковыми, что ничего не добавлялось и не убавлялось; используйте прием маскировки, укажите на обратимость и на соответствующее изменение размеров, чтобы помочь ему преодолеть барьер. Если нужно, опять вернитесь к работе только с одним количеством, пропустив ситуацию с первоначальной эквивалентностью множеств и относящийся сюда вопрос. Возможно, ребенок прибегнет и к принципу компенсации, поставив Две банки вертикально одна на другую, чтобы соединить воедино разделенные количества. Это неплохая мысль, и определенно он заслуживает, чтобы за нее его ласково обняли. Ко всему прочему ее было бы трудно предложить. Если бы он не пришел к этой мысли самостоятельно, то возможно, что вы его только запутали бы, пробуя натолкнуть на подобный прием соединения.

ПУС 118. Сохранение разделенного непрерывного количества. В ПУСах 111 (с. 180), 114, 115 (с. 182, 183) ребенок на. учился понимать сохранение глины и воды. Используйте те же материалы, сначала глину, и пройдите упражнение с делением на части одного из количеств, его или вашего. Банки при работе с глиной не нужны. Установите эквивалентность двух шаров, как в ПУСе 111, затем предложите операцию разделения: «Если я разломаю свой шар на две части, будет ли у нас одинаковое количество глины?» Пройдите те же основные вопросы и процедуры, делая предположение и поддерживая малыша, когда надо, приведите обычные доказательства и используйте подходящие приемы.

От глины перейдите к воде или лимонаду, если ребенок найдет его более интересным материалом, и, взяв опять три банки, использованные в ПУСе 117, следуйте той же последовательности действий. Вы можете усложнить этот ПУС, увеличив число банок, в которые разливаете воду.

Чтобы облегчить изложение, мы сознательно описали эти ПУСы как рецепты в поваренной книге. Ребенок расстроит любую вашу попытку муштровать его. Он не шагает в строю и не будет идти тем шагом, который вы считаете правильным только потому, что так написано в книге. Вместо этого он будет выделывать немыслимые зигзаги, исследуя те стороны предлагаемых вами упражнений, которые он найдет интересными и важными. Следите за ним, наблюдайте, слушайте и импровизируйте. Если он предпочитает лепить из глины пирожки, а не раскатывать ее в колбаски, все на пользу. Играйте с пирожками и выбирайте момент, чтобы задать соответствующий вопрос, сделать подходящее предложение или направить ребенка так, чтобы он узнавал то, что ему хочется узнать. Вы не рискуете выбиться из колеи, если оставите за ним инициативу, которую будете приспосабливать к общему плану, предложенному в этой книге, когда для этого появляется благоприятный случай.

Только помните, что нужно остановиться в тот момент, когда кто-нибудь из вас начнет скучать. А если возможно, то до этого момента. Придумывайте ваши собственные ПУСы по мере того, как вы продвигаетесь вперед.

Чтобы помочь вам следить за тем, как ребенок усваивает понятие сохранения, советуем использовать приведенный на с. 171 контрольный дневник. Возможно, что вам нужно будет расширить немного его в тех пунктах, в которых вы меняли операции, как, например, в ПУСе 110 (с. 179), если вы убирали экран или использовали принципы обратимости. *•

Прошло три года с тех пор, как ребенок включился в учебные ситуации, но ведь эти три года практически составляют все время жизни ребенка 5 лет, собирающегося идти в школу. В течение этого периода он рос в десятках направлений — физически, умственно и эмоционально. Вы наблюдали за ним, когда он учился ходить, бегать, скакать на одной ножке, прыгать и карабкаться, самостоятельно есть и самостоятельно одеваться, ходить в туалет, говорить и петь, заводить друзей, собирать вещи и разбрасывать их. Понемножку помочи, на которых вы его держали, стали посвободнее. Если удалось, то вы устроили его в дошкольное учреждение, где он научился, как надо себя вести среди детей своего возраста;

Он больше не требует, чтобы вы постоянно были поблизости, в пределах видимости и досягаемости. Все больше и все чаще другие взрослые и другие дети занимают его внимание и оказываются источником эмоций.

Все идет хорошо, и он готов сделать большой шаг, начиная свою официальную школьную карьеру. Большинство современных детских школ стараются облегчить этот шаг новичкам. В одних школах позволяют матерям оставаться с ребенком в течение одного или двух дней, пока он не освоится в новой для него обстановке. В других ребенку предлагают посещать школу в течение некоторого времени еще до начала занятий, чтобы он познакомился с местом и детьми, с которыми он останется, когда мамы не будет. Многие школы организуют специальный подготовительный класс или устраивают дошкольную группу. Обычно в наше время в хорошей школе создается раскованная,  неофициальная атмосфера. По крайней мере, в первый год уроки будут ребенку казаться больше игрой, нежели работой.. Многие школы используют методику свободной активности для младших детей, а может быть, и открытый план.

Но и в этом случае за кажущимся вам хаосом будет стоять тщательно разработанная программа. По мере того как ребенок переходит из класса в класс, он вовлекается в занятия, требующие напряжения его способностей и увеличивающие его умения. Он выучится чтению, письму и арифметике, едва замечая разницу между ними, если они преподаются в образной форме. Например, игра в «магазин» естественным образом объединяет эти три предмета, открывает ему смысл реальных жизненных терминов и убеждает его, что то, что он учит, очень нужно, чтобы стать взрослым. Он особенно страстно желает как можно скорее стать похожим на взрослого. По крайней мере, в той степени, в которой он представляет себе взрослого. Теневые стороны взрослого состояния он познает позже.

Весьма возможно, что ваш ребенок будет учиться в школе, где в программу введена новая математика. Вероятно, это будет большим сюрпризом для вас, чем для него. Если он усвоил понятия сохранения, которые лежат в основе математических действий, значит, он успешно усвоил формальные математические операции, в каком бы виде ему их ни преподавали. По всей вероятности, вы учились складывать и вычитать, умножать и делить традиционными методами. Поэтому вы можете почувствовать себя несколько неважно, когда ваш ребенок придет домой и начнет трещать о троичной системе счета или обратиться к вам за разъяснениями тонких вопросов теории множеств.

На самом же деле в новой математике нет ничего особо таинственного. Традиционная арифметика использует в качестве основания 10. Иными словами, мы используем десять последовательных символов — от 0 до 9 для нашего повседневного счета и записи чисел. Чтобы пройти дальше 9, мы снова используем те же цифры, передвигая их в следующий ряд. Десять записывается как 10, чтобы показать, что у нас один десяток и нет единиц. Четырнадцать записывается как 14, чтобы показать, что у нас есть один десяток плюс четыре единицы. По той же логике 37 говорит нам о том, что есть три десятка вместе с семью отдельными единицами. Когда доходим до 99, мы опять исчерпали все символы и должны сдвинуться в следующий разряд. Так, 100 представляет собой 10 десятков, что на одну единицу больше, чем 9 десятков и 9 отдельных единиц. Аналогично, 245 представляет две сотни, четыре десятка и пять отдельных единиц. Вот что означает записывать числа в десятичной системе.

Очевидно, мы можем считать и в любой другой системе. Десять как стандартная основа системы счета появилось просто в связи с числом пальцев на наших руках. Если бы природа снабдила нас только четырьмя пальцами, то человечество почти наверняка создало бы арифметику, использующую четыричную систему счета. С математической точки зрения в основании 10 нет ничего святого, и для некоторых целей предпочитаются другие основания. Например, все цифровые счетные машины работают, используя для операций двоичную систему и возвращаясь к десятичной только для целей ввода и дисплея (вывода на экран или для печати). Двоичная система, требующая только символов 0 и 1, более проста, чем наш традиционный способ обозначения чисел. Так что, если ваш ребенок приходит домой с числом вроде 1 101 001, записанным в двоичной системе, и просит вас перевести его в десятичную систему, вы можете попросить у него объяснений об устройстве двоичной системы.

Если он начнет путаться в словах, вы можете с ним проработать этот материал. Начинайте с единицы в самой правой колонке, где она представляет отдельную единицу, как и во всякой системе. Так как в двоичной системе единица является наивысшей цифрой, то вы должны сдвинуться в следующую колонку, чтобы представить число 2 традиционной системы. Таким образом, 10 в двоичной системе — это то же, что 2 в десятичной, поскольку представляет собой двойку без еще одной отдельной единицы. В двоичной системе 11 —это 3 в традиционном обозначении: 1 двойка плюс 1 отдельная единица. Чтобы представить 4, вы должны опять сдвинуться в следующую колонку, так как уже израсходовали запас цифр. Поэтому 100 в двоичной системе — это 4 при использовании основания десять, так как эта запись означает, что имеется одна четверка, нет ни одной Двойки и нет ни одной отдельной единицы. И так далее. Тогда получится, что число 1 101 001 составляется, как один раз 64, один раз 32; далее 16 отсутствует, имеется одна восьмерка, отсутствуют четверка и двойка и имеется одна отдельная единица, что дает после сложения 105 — число, записанное в десятичной системе.

Во многих школах, преподающих новую математику используются также специальные материалы, чтобы облегчить овладение понятиями. Эти материалы представляют собой маленькие бруски дерева, разрезанные на кубики, палочки с квадратным сечением, плоские квадраты и т. д: , размеры которых кратны некоторой единице длины. В некоторых наборах различие в цвете связано с различием в длине. Любое из таких пособий, умело примененное, может помочь ребенку еще дома почувствовать числа и количества.

Вы можете, если хотите, приобрести эти пособия, чтобы ребенок играл ими дома, но против этого говорят некоторые соображения. В отличие от дидактических игрушек эти пособия нужно использовать более систематично, менее случайно, чтобы они были эффективны. Вам нужно овладеть теорией и методикой, связанными с этими пособиями, прежде чем пытаться обучать вашего ребенка. Если вы будете придерживаться последовательности ПУСов и соображений, изложенных в этой книге, то очень быстро откроете, что преподавание исключительно ответственное дело, если к нему подходить серьезно. Учитель, поставленный лицом к лицу с классом детей, которые пришли в школу в первый раз в своей жизни, должен справиться с целым рядом проблем. Некоторые ученики уже умеют читать и писать и даже решать несложные арифметические задачи. Другие никогда не видели книги. В этих условиях обучение началам математики требует терпения и мастерства. Один ребенок быстро идет вперед, в то время как другой кажется совершенно неспособным освоить простейшие математические понятия в какой бы то ни было форме.

Используя идеи, выдвинутые в этой книге, вдумчивый учитель может создать метод диагностики причин, сдерживающих развитие каждого определенного ребенка. Главная цель этой книги — осветить систему понятий, ведущих к математическому мышлению, и обсудить способы, облегчающие детям выработку этих понятий. Чтобы помочь ребенку, который имеет пробелы в предварительной подготовке, нужно сначала обнаружить, где произошел перерыв в развитии понятий, и предложить подходящие ПУСы, восполняющие логическую нить  Понятия, связанные с совмещением и принадлежностью тождественностью, классификацией, попарным соответствием и подбором пар, упорядочением, устным счетом и счетом наизусть порядковыми и количественными числами,— все они должны быть разложены по своим местам, прежде чем может появиться настоящее математическое мышление.

Дидактические игрушки так же важны в классе, как и дома. В любой школе всегда есть широкий набор подходящих материалов, с которым можно заниматься. Единственное, в чем может помочь учителю эта книга,— это развернуть все имеющиеся ресурсы систематическим образом. Ребенок, который никогда не имел возможности играть с матрешками или пирамидкой из колечек, может вследствие этого иметь лишь туманное представление о том, как соотносить размеры с местом в ряду. Если учитель узнает об этом, он должен обеспечить соответствующий ПУС, прежде чем пытаться идти дальше — к более продвинутым математическим операциям.

То же самое относится и к более старшим детям, которым вследствие эмоционального или умственного отставания трудно усваивать формальную математику. Сначала найдите источник трудностей, а затем подберите правильный, исцеляющий ПУС, чтобы перешагнуть через препятствие. Требуемое диагностическое мастерство может прийти только с опытом, однако учитель, имеющий ясное представление об основных понятиях, чувствует себя значительно увереннее и ему легче заполнить пробелы, которые замедляют развитие.

Чтобы мы могли перевести наши возвышенные чувства в четкие действия, мы должны понять, как ребенок входит в мир чисел. Когда слепой ведет слепого, движение будет медленным, не говоря уже об опасностях. Когда мы приобретаем представление о том, как развивается математическое мышление, мы можем надеяться уменьшить риск, что дети будут страдать от чувства неудачи, скуки, апатии и своей неспособности, и, напротив, надеяться, что они будут наслаждаться достигнутыми успехами, которые приходят вместе с овладением новыми видами навыков.

Последнее слово ободрения. Не отчаивайтесь, если школа, которую посещает ваш Ребенок, по вашему мнению, далека от совершенства. Ваше личное влияние на его оценки и его поведение более существенно. В свои ранние детские годы ребенок полностью зависит от своих родителей (и особенно от матери) как эмоционально, так и материально. В некоторых отношениях эти годы оказывают наибольшее влияние на его формирование. Действительно, многие ученые полагают, что основы структуры личности и ее динамики, ее добро и зло закладываются в кругу семьи задолго до того, как школа начинает осуществлять свое сдерживающее влияние. Глядя на вас, ребенок делает свои первые заключения о человеческом родстве, социальных и моральных ценностях. От вас он научится лгать или говорить правду, хитрить или вести честную игру. Если вы толстокожи, то и он научится пренебрегать нуждами других людей. Если вы кричите, чтобы выиграть в споре, когда не можете убедить другим способом, то и он переймет эту тактику как средство регулирования разницы во мнениях. Если в порыве досады вы ударите его, он тоже научится выражать свое настроение таким же образом. Если вы преднамеренно унизите его и попытаетесь «сломить его дух» рассчитанным насилием, он узнает, что сила всегда права и что страх более мощный двигатель поведения, чем любовь. Если вы не поддержите своих друзей, когда они обратились к вам за помощью, он никогда не научится ценить истинную дружбу. Итак, чего бы вы ни хотели для своего ребенка, утешайтесь мыслью, что на вас, его родителей, он посмотрит прежде всего, чтобы узнать, на что в жизни- стоит тратить время.

Более того, это непременно произойдет, хотите вы этого или нет. Будьте спокойны. Будьте там, где вы нужны ребенку. И приготовьтесь отойти в сторону, когда ему понадобится больше простора, чтобы расти.

начало